ステップ応答の周波数特性による解析方法について

質問

制御工学において、伝達関数のsにjωを代入して得られる周波数特性からステップ応答波形を予測するときに疑問があります。
　例えば、周波数特性でω＝ω１のときに、ゲインが1/5になり、位相遅れが40°であるような伝達関数があるとします。そこに、sin(ω１ｔ)という信号を入れたら定常状態では出力が1/5×sin(ωt-40°)になりますよね。でもそれは定常状態での話であって、当然過渡状態では違う出力が出ると思うんです。
　で、ステップ応答っていうのは、別に時刻０秒に立ち上がってもいいじゃないですか？つまり、ステップ応答を正弦波の重ね合わせで捕らえた場合、その一つ一つの波は０秒付近では過渡状態にあると思うんです。なのに、定常状態でのゲイン利得や位相特性をつかって、オーバーシュートやリンキングの解析をするところに納得ができません。
　確かに、十分時間がたった後の方形波において、周波数特性から解析するのは納得です。十分時間が立てば、一つ一つの波は定常状態なので、位相特性やゲイン利得をそのまま適用できるからです。なのに、なんで普通のステップ応答にも適用できるのでしょうか？
　すいません。文章が下手なもので、質問の意図を理解してもらえないかもしれませんが、どなたかお願いします。

回答No.10

ringouri · ベストアンサー

No.5です。
No.6さん、No.7さんの欄「この回答への補足」（by 質問者さん）の記事に簡単にコメントします。

既に御自身で理解されている[10)]ように、平たく言えば「0～1000秒中のステップに対する出力を1000秒以後の定常状態での方形波の立ち上がりとみたてて考えている。」ということで結構ではないでしょうか。（ただし、この例では、時間の単位は秒ではなく μsec（マイクロ秒）ですが）
引用してあるWEBのページの筆者が、質問者さんみたいに深く考える人を想定していなかっただけのことです。しかし、別に、その筆者が良くないわけでもありません。
方形波の周波数がフィルタの折れ点（コーナー周波数）よりもかなり低い場合には、近似的に上記の考え方は成り立っていますので、OKです。
ただし、厳密には、0Vからはじめて方形波を印加した場合の、最初の部分と、定常状態になった後の部分では、方形波の立ち上がりの波形は違います。たとえば、方形波が正負対称な波形ではなくて、0Vと1Vの（DC成分をもった）波形を考えれば、DC成分の過渡状態が明確に現れますので、違いを理解しやすいかと思います。

質問者さんが疑問に思われたことへの、ひとつの厳密な回答例として、形は少し異なりますが、関口忠『電気回路II』（オーム社、現代電気工学講座）p50～p59に解説があります。図書館にでもあれば、参考にしてみてください。

お礼

やはりそのように考えていいんですね。自分がまさに求めていた答えです。
「厳密には、0Vからはじめて方形波を印加した場合の、最初の部分と、定常状態になった後の部分では、方形波の立ち上がりの波形は違います。」
というのもメチャクチャ納得できます。
「ただし、厳密には、0Vからはじめて方形波を印加した場合の、最初の部分と、定常状態になった後の部分では、方形波の立ち上がりの波形は違います。たとえば、方形波が正負対称な波形ではなくて、0Vと1Vの（DC成分をもった）波形を考えれば、DC成分の過渡状態が明確に現れますので、」
というのも、以前に Labviwに方形波の周期を色々かえて実行させたことがあり、その波形を覚えているので言っていることがよくわかります。
「方形波の周波数がフィルタの折れ点（コーナー周波数）よりもかなり低い場合には、近似的に上記の考え方は成り立っていますので、」
という記述で自分の考えが正しいことを確信しました。
本当にありがとうございました。

回答No.12

foobar

＃１１さん回答と重複しますが、
「０～1000秒中のステップに対する出力を1000秒以後の定常状態での方形波の立ち上がりとみたてて考えている。」
考えているというか、両者が（ほぼ）一致する、というところです。

方形波の立ち上がりを見るということは、基本波に対して十分高い周波数領域で波形を観察していることになります。
この領域では、方形波の周波数成分は、
(a)振幅(というのはちょっと語弊がありますが）が周波数に反比例する、（連続波形とみなせるほど）非常に細かい間隔で並んだインパルス列
になります。

また、ステップ信号は、
(b)振幅が周波数に反比例する連続関数
になります。

入力信号が(インパルス列と連続関数の違いはありますが）同等なものですんどえ、（周波数領域で見た）出力信号も同等なものになり、時間領域で見た出力信号も同等なものになります。

＃６さん補足にある
「・ ０～1000秒ではy(t)=f(t)+g(t)」
のf,gも実は、sin関数だった（ただし、非常に多くの周波数成分の和で、f1,f2,f3,,fnの間隔が非常に狭い）ということになります。

お礼

「両者が（ほぼ）一致する、というところです。」
やはりそうでしたか。完全に一致しないことはわかっていましたが、
自分の考えが合っているのか不安でした。でもおかげでようやく納得のいく結論が得られました。本当にありがとうございました。

回答No.11

rabbit_cat

補足を読みましたが、ずばり何を疑問に思っているのかがいまいち理解できませんでしたが。すいません。読解力不足なので。

＞10)ですから、自分がみなさんに期待している答え（そうだったらいいなあと思う答え）の例としては、
＞「０～1000秒中のステップに対する出力を1000秒以後の定常状態での方形波の立ち上がりとみたてて考えている。」というような感じです

これに関して言えば、ステップ関数は、周期的な矩形波の周期を無限大にした極限と考えることができますので、おっしゃるような話は成り立つとは思います。
もともとフーリエ変換の出発点は、周期関数でのみ定義されるフーリエ級数を、周期→無限大の極限を考えることで、非周期関数に適用してみよう、ってことから始まってるので（本当にそうかは知りませんが、学校の授業なんかではこういう導入の仕方をすることが多いですよね）、ステップ関数を周期無限大の矩形波と考えることも、そんなに違和感はないかと思います。

お礼

すいません、自分の文章が下手なもので、何が言いたいかはっきり伝えられませんでした。でもみささんのおかげで納得する結論を得ることができました。本当にありがとうございました。

回答No.9

noname#101087

# 2^k でした。

>10)...「０～1000秒中のステップに対する出力を1000秒以後の定常状態での方形波の立ち上がりとみたてて考えている。」というような感じです。.....
>11）もちろん、非周期のステップ信号と、周期信号の方形派を同一視することはまずいことだとは思いますが、実際、方形波の立ち上がりの部分に現れるオーバーシュートと、非周期のステップ入力の立ち上がりの部分に現れるオーバーシュートは同じ形をしているじゃないですか？

どうやら、焦点は定常状態の波形歪らしいですね。
もしそうなら、Wheeler の "Paired Echoes" の手法が有力な一例です。
大昔のペーパーで、コンピュータを駆使できる時代以前のネタゆえ、直感的なアプローチが長所です。
(残念ながらネットには公開されてないようですが)
----------------------------------------
Wheeler,. H. A., "The Interpretation of Amplitude and Phase Distortion in Terms of Paired Echoes,". Proc. IRE. 27(6), June 1939.

お礼

何度も回答いただき、本当にありがとうございました。
みなさんの意見を参考に、十分納得する結論が得られました。
本当に感謝しています。

回答No.8

noname#101087

#2, 4 でした。

「バタワースフィルタのステップ応答でオーバシュートやリンギングが生じるのは、位相の周波数特性がリニアではないことに起因しています」
…引用ページの一文。

確かに、オーバシュートやリンギングが生じるのは位相の周波数特性がリニアではないから、と読めます。
いきなり定常状態へ直結すると首をひねらされることになるので、まずはラプラス逆変換へ迂回すべき個所のようです。

バタワースのような「シャープ・カットオフ」の振幅特性では、伝達関数のポールが s-平面上で虚軸に近くなります。
その結果として、
　(F) 周波数特性(ラプラス変換)を見ると、カットオフ近傍に位相傾斜が急増するところが出現
　(T) 時間応答(ラプラス逆変換)を見ると、オーバシュートやリンギングの原因となる正弦波項が出現
するわけです。

引用文からは、(T) の原因は (F) であるかのような印象を受けやすいのでしょう。
「伝達関数のポールが s-平面上で虚軸に近い」ことを説明項にすれば、どうでしょうか ?

補足

回答ありがとうございます。
確かに、「伝達関数のポールが s-平面上で虚軸に近い」といったような、ラプラス領域での議論が原因で、オーバシュートやリンギングが現れるというのは納得です。式を見れば確かにそうなりますから。しかし、自分が求めている回答とはアプローチの仕方が少し違うんです。どう考えても引用ページでは波の重ね合わせで考えていますよね？そっちの方向で理解したいんです。本当に何度もすいません、＃６さんと＃７さんのところに自分の考えをまとめてかきましたので、それについて意見してくれるとさいわいです。

回答No.7

foobar

入力信号が、fi(t)∝∫Fi(w)exp(jwt)dw、とexp(jwt)の寄せ集めで表されるということに納得できるなら、、
wそれぞれの成分は、-∞<t<∞の間存在する（いわば定常な）信号です。
ということは、それに対応する出力も-∞<t<∞の間存在する（いわば定常な)信号になります。

（そもそも、フーリエ変換をかけて周波数領域で表した時点で、「時間」の概念から離れて（「時間」の概念が無くなって）いて、「定常」とか「過渡」という考え方が消えてしまいます。ただし、この情報自体は残っていて、＃５、＃６さん回答と内容が重なりますが「時間領域で定常的な信号」は「周波数領域でインパルスの集まり」になりますし、「時間領域で過渡的な（という表現もちょっとあいまいですが）信号」は「周波数領域で連続した信号」になっています。）

補足

＃６さんの補足の続きです。
7)一方で、入力信号を周期的な方形波とします。そして、方形波も簡単のため、u(t)=sin(ω1t)＋sin(ω2t)のように２つの正弦波の重ね合わせで表現できるとします。（現に、方形波は周期的ですからたくさんの波の足し合わせで表現できますよね？）そして、対象とするシステムをG（s）とします。ボード線図（ゲイン線図、位相曲線）から以下の２つの情報が読み取れるとします。
・周波数ω１の信号はゲインが2/3倍、位相遅れが10°
・周波数ω１の信号はゲインが1/5倍、位相遅れが30°
また、以下では簡単のため、0秒から1000秒を過渡状態、1000秒以降を定常状態とします。
8)そして方形波をシステムに入力した場合、０～1000秒では2)での議論と同様に、過渡振幅をもつy(t)=f(t)+g(t)が出力となり、1000秒以降はy(t)= 2/3sin(ω1t－10°)+1/5sin(ω2t-30°)となります。
9)そして、「波の重ね合わせで振幅が大きくなるところがでてきて、それがオーバーシュートになる」という理論が０秒～1000秒では使えないというのは、6)までの 議論とおなじなのですが、一方、1000秒以降も入力した方形波に対して、出力は方形波が入る度にオーバーシュートやらリンキングやらを起こしますよね。そのオーバーシュートに対しては、「波の重ね合わせで振幅が大きくなるところがでてきて、それがオーバーシュートになる」という理論が適用できると思います。なぜなら1000秒以降は出力の式は定常的な正弦波の和であるy(t)= 2/3sin(ω1t－10°)+1/5sin(ω2t-30°)となっていて、確かに位相が10°、30°遅れているからです。
10)ですから、自分がみなさんに期待している答え（そうだったらいいなあと思う答え）の例としては、
「０～1000秒中のステップに対する出力を1000秒以後の定常状態での方形波の立ち上がりとみたてて考えている。」というような感じです。だったらものすごーく納得できます
11）もちろん、非周期のステップ信号と、周期信号の方形派を同一視することはまずいことだとは思いますが、実際、方形波の立ち上がりの部分に現れるオーバーシュートと、非周期のステップ入力の立ち上がりの部分に現れるオーバーシュートは同じ形をしているじゃないですか？
12）以上が自分の考えです。当然、どこかおかしいと思うので、どこがおかしいのかを段落番号かなんかを使って指摘してくださればさいわいです。本当にしつこくてすいません。

回答No.6

rabbit_cat

つまり、２つの別々の質問を同時にしているってことですかね。

１． ラプラス変換で表される系について、ステップ応答が簡単に求められるのはなぜか？
Ａ． ＃１，＃４，＃５で述べられていますが、そもそもラプラス変換は定義から、t<0で0という入力を仮定しているんです。なんで、ステップ応答が簡単に求められるのは当たり前です。

２．そもそも定常状態のみを考えている周波数特性から、過渡応答が表現されるのはなぜか？
Ａ．＃１の前半に書きましたが、まずもっている情報ってことから考えると、「全ての周波数についての（定常状態の）応答」は、「系のインパルス応答」と同じだけの情報を持っています。なんで、任意の入力に対する過渡応答が計算できるというのは、ある意味当然なんですが。

そうですね。ラプラス変換はt<0で入力0を仮定していて逆に分かりにくいので、フーリエ変換で考えると、
ステップ関数のフーリエ変換は、
F[u(t)] = 1/2*(1/iπf+ δ(f))
です。これは、つまり、ステップ関数が、sin(2πft+Af) という形の和（積分）で表せるってことを示しているわけです。
（δ関数が陽に出てきてるんで、（通常の複素数範囲では）表せてないって見方もあるとは思いますが、まあそれはここで問題になっている過渡応答の話とは別の話なので置いといて）
で、sin(2πft+Af) という形の和（積分）で表せる入力なら、出力が、それぞれの周波数での定常応答の和になるっていうのは納得されると思います。

補足

回答ありがとうございます。ですが、本当に何度もすいません。まだ納得できません。以下に自分の考えをまとめますのでみなさんどうか指摘してください。
1)例えば、入力のステップ信号を、簡単のため、u(t)=sin(ω1t)＋sin(ω2t)のように２つの正弦波の重ね合わせで表現できるとします。（もちろん、ステップ信号は非周期なので積分を使った形でないと表現できないのはわかっていますがあくまでも簡単のためです。）そして対象とするシステムをG（s）とします。そしてG（s）のボード線図（ゲイン線図、位相曲線）から以下の２つの情報が読み取れるとします。（ただx軸がω1とω2の部分のy軸の値を読むだけです。）
　　　・周波数ω１の信号はゲインが2/3倍、位相遅れが10°
　　　・周波数ω１の信号はゲインが1/5倍、位相遅れが30°
また、以下では簡単のため、0秒から1000秒を過渡状態、1000秒以降を定常状態とします。
2)次に、　G（s）に上に定めたステップ信号u(t)を時刻０秒から入力します。「当然、印加した直後の出力応答は定常振幅ではありません。」と＃５さんがおっしゃったように、sin(ω1t)の入力にたいする出力は０～100秒では2/3sin(ω1t－10°)にはならず、過渡振幅をもった周期的ではない信号f(t) になります。同様にsin(ω2t)の入力にたいする出力は０～1000秒では過渡振幅をもった周期的ではない信号g(t)になります。つまり、入力u(t)にたいする出力は次のようになると考えられます。
・ ０～1000秒ではy(t)=f(t)+g(t)
・ 1000秒以降はy(t)= 2/3sin(ω1t－10°)+1/5sin(ω2t-30°)
3)そして、 http://www.orixrentec.co.jp/tmsite/know/know_filter2.html のページの図２のバタワースのステップ応答のグラフを見てほしいのですが、このグラフは０秒から300秒ぐらいまでには立ち上がっていますよね。つまり2)の議論により、図2のグラフのステップ応答の式はy(t)= 2/3sin(ω1t－10°)+1/5sin(ω2t-30°)ではなく、y(t)=f(t)+g(t)になると思うんです。
4)そして、このページの「アンプやフィルタでは、入出力間の位相対周波数特性が直線（リニア）な関係から外れると、振幅の周波数特性が平坦だとしても、波形は大きく変わってしまうことがある、というわけです。」という議論、すなわち今回の場合に当てはめると「位相が10°や30°遅れることによって、リニアな関係からはずれるので、この２つの波を重ね合わせたときに遅れのズレによって振幅が大きくなるところがでてきてしまい、それがオーバーシュートとして現れる。」という議論は位相が10°や30°遅れる1000秒以降でないと適用できないと思うんです。
5)なぜなら、０～1000秒の間は10°や30°遅れているわけではなく、あくまで過渡的な振幅を持つf(t)とg(t)でしかないからです。
6)もちろん、出力がG(s)と1/sの逆ラプラスで求められることはわかっています。
しかし、自分が納得できないのは、なんで、時刻０～1000秒に現れるオーバーシュートを1000秒以降の定常状態での位相ズレにより、「波の重ね合わせで振幅が大きくなるところがでてきて、それがオーバーシュートになる」という理論で片付けることができるのかがわからないんです。「波の重ね合わせで振幅が大きくなるところがでてきて、それがオーバーシュートになる」のは入力した信号がf(t)、g(t)ではなく、2/3sin(ω1t－10°)、1/5sin(ω2t-30°)となる定常状態で適用できる理論だと思うのですが・・・みなさんの回答を見ても、申し訳ないのですが、いまいちそのへんが納得できません。ごめんなさい。文章が長くなりすぎましたので、＃７さんの補足のところに続きを書きたいと思います。

回答No.5

ringouri

質問者さんは二つの誤解をしているようです。

(1) 単位インパルスとか単位ステップとかの繰り返し波形ではないもののパワー・スペクトルはωに対して連続となります。
一方、方形波などの繰り返し波形のパワー・スペクトルは離散的（基本周波数とその高調波成分のみ）です。
ステップ応答と言った場合、周波数領域（ラプラス変換あるいは演算子法のs領域またはjω領域）で入力1/s [1/(jω)]を印加した場合に伝達関数G(s) [G(jω)]の回路の出力がG(s)/s [G(jω)/(jω)]になりますが、この場合、この出力はωの連続関数として考えていることになります。
従って、G(jω)がボーデ線図で周波数の連続関数として表現されていることに意味があります。
G(s)/sを時間領域に逆変換すれば、t=0で立ち上がってくる過渡応答波形になります。

(2) No.4さんも指摘しておられるように、ラプラス変換とフーリエ変換では、同じ「正弦波」の場合でも、表現が異なってきます。基本的に、ラプラス変換は、t<0でf(t)=0という関数を、フーリエ変換では、t→-∞,t→+∞でf(t)が存在するという関数を考えていますので、ラプラス変換の場合、正弦波といっても、t<0では0、t>0で振幅が一定になる正弦波です。
当然、印加した直後の出力応答は定常振幅ではありません。伝達関数のステップ応答に相当する形の包絡線（過渡振幅）をもった正弦波となります。
方形波を回路に入力した場合の出力の応答は、過渡状態を含んだ多数の正弦波（基本波成分と高調波成分）の合成として表わされることになります。その各成分の振幅の大きさ（比）と位相差はG(jω)に従います。

補足

詳しい回答ありがとうございます。
（１）についてですが、ごめんなさい、誤解を招くような記述があったかと思われますが、（１）の内容については理解しているつもりです。
（２）についてなのですが、
http://www.orixrentec.co.jp/tmsite/know/know_filter2.html
の途中に「そして、図１４はベッセルフィルタのステップ応答です。ベッセル特性のフィルタにはバターワースで生じたオーバシュートやリンギングがありません。」という記述がありますよね。これは文脈から判断すると、群遅延特性がバタワースに比べてうなりが少ないことが理由だと思います。リニアだと、各波の時間遅れが同じになり、波形が保たれますよね。ページの途中に「別な言い方をすると、入出力間で波形が変わらないための条件は、全ての周波数で遅れ時間が同じであることです」って書いてあるし、これ自体、自分も納得しています。しかし、位相特性（群遅延特性）というのは正弦波を入れて十分時間がたった定常状態での特性ですよね？一方、ステップ入力は、時刻０秒で立ちあげていますよね？時刻0秒付近では明らかに正弦波を入力しても定常状態にはなってないじゃないですか。「印加した直後の出力応答は定常振幅ではありません」と回答してくださったので、そういうことだと思います。なのに、このページではステップ応答にオーバーシュートやリンキングがなくなった理由を位相特性がリニアに近づいて、全ての周波数で遅れ時間が近くなってきたためとしています。
自分は位相特性がリニアに近づいて、全ての周波数で遅れ時間が近くなるという理論は位相特性自体が十分時間が立った定常状態でないと意味をなさないものなので、この理論を時刻０秒付近（定常状態になってない）で適用することに納得がいかないんです。
みなさん、本当に何度もしつこくすいません。どうしても理解したいんです。

回答No.4

noname#101087

#2 です。

>十分時間がたたない時刻でのステップ（たとえば、時刻０秒でのステップ）を、十分時間がたった（定常状態）での正弦波の重ね合わせで表現しようとするのが納得できない

ステップ応答を求めるラプラス変換 & 逆変換では、定常状態の正弦波の合成をしているわけじゃなくて、「時刻０秒」からスタートする正弦波合成だと思います。(ラプラス積分の始点は t=0 です)

補足

何度も回答ありがとうございます。
すいません。いまひとつ納得できていません。
＃５さんの補足のところに納得できない点をかきますので、
できたらまた回答をお願いします。

回答No.3

foobar

フーリエ逆変換は
f(t)∝∫F(w)exp(-jwt)dw
の形になっています。
この式は、「（ステップ信号やインパルスのような）過渡的な波形(f(t))も、繰り返し波形(exp(-jwt))の重ねあわせ（積分)で表すことができる」ということも示しています。

（線形な系なら）
入力の過渡的な信号に関して各周波数成分に分解して、
それぞれの周波数に対して応答を求めて、
応答を重ね合わせれば出力の過渡的な信号を計算できる、
ということになります。

補足

ステップ応答が正弦波の重ね合わせであらわせるというのはわかります。しかし、伝達関数（ラプラス領域）で表されるシステムにステップを入れた場合、ステップを構成する一つ一つの正弦波は十分時間が立たない状態では周波数特性（ゲイン線図、位相線図）に示されるような波形にはならず、十分時間がたった定常状態で、初めて周波数特性が意味をなすものであると思うんです。なのに、十分時間がたたない時刻でのステップ（たとえば、時刻０秒でのステップ）を、十分時間がたった（定常状態）での正弦波の重ね合わせで表現しようとするのが納得できないんです。たとえば、周期的な方形波を入力とした場合、十分時間がたった後では、方形波を構成する一つ一つの波は定常状態になっているので、方形波を周波数特性で示されるような正弦波の重ね合わせと考えるのには納得できるんですが…
質問の意図が伝わりづらくてすいません。

回答No.2

noname#101087

>.... ステップ応答を制限波の合成として考えた場合、ひとつひとつの波はまだ定常状態になってないので、「入出力間の位相対周波数特性が直線（リニア）な関係から外れると、振幅の周波数特性が平坦だとしても、波形は大きく変わってしまうことがある」という理論が適用できないと思うんです。.....

ベテランなら、定常状態の周波数特性(振幅 & 位相)からステップ応答をある程度予測できるそうです。
しかし、細かなハナシになるとそればかりをあてにするのはリスキーですね。

「まだ定常状態になってない」というのは、そのとおりです。
わざわざ(初期条件を与え)逆変換し、ステップ応答などの時間域シミュレーションで確認するわけです。

補足

たとえば「群遅延特性」というのも、システムにステップ（正弦波の重ね合わせ）を入れて十分時間がたった定常状態で意味のあるものだと思うんです。「位相遅れがリニアだったら、入力信号の形が変わらずに、時間が遅れて出力が出てくる」、というのも、入力した正弦波の形が周波数特性に示されるような波形になる前の状態（過渡状態）では、意味をなさないと思うんです。そこらへんの数学的根拠が知りたいのですが…。