複素関数論

質問

複素関数論のこの問題をお願いします

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

残念ながら必ずしもそうでもない。
例えば r=1/4の時、 |w_2 - 2 * w_1| = |1/2 + (1/4)i| = (1/4)√5 > |2w_2 - 5w_1| = |(1/2)i| = 1/2。
r = 1の時、 |w_2 - 2 * w_1| = |1/2 + i| = (1/2)√5 > |w_1| = 1。

そこでよく考えると、S(α)の候補として、1, (1/4 + r^2)^(1/2), 2|r| の3つの可能性がある。
|r|≦ 1/(2√3)の時はS(α) = 2|r|, 1/2< |r| < (1/2)√3の時は S(α) = (1/4 + r^2)^(1/2), (1/2)√3 ≦ |r|の時は S(α) = 1。

ここで(1/2)√3 < |r|の時、 S(α) = 1となるのは <m,n> = <1,0> or <-1,0>の時しかなく、Ω(α) = {-1, 1}となって不適。
|r| = (1/2)√3 の時、S(α) = 1となるのは、<m,n> = <-1,0> , <1,0>, <-2,1>, <2,-1>で Ω(α) = {-1,1, (1/2)+ri, (-1/2) - ri} となって適する。
1/(2√3)< |r| < (1/2)√3の時、 S(α) = (1/4 + r^2)^(1/2)となるのは <m,n> = <-2,1>, <2,-1>で Ω(α) = {(1/2)+ri, (-1/2) - ri}となって不適。
|r|=1/(2√3)の時、S(α)= 1/√3となるのは、<m,n> = <-2,1>, <2,-1>, <-5,2>, <5,-2>で、Ω(α) = {(1/2)+ri, (-1/2) - ri, i/√3, -i/√3}となって適する。
|r|<1/(2√3)の時、S(α) = 2|r|となるのは、<m,n> = <-5,2>, <5,-2>で、Ω(α) = { i/√3, -i/√3}となって不適。

お礼

ありがとうございます

回答No.5

BASKETMM

何が分からないのですか。問題の内容を複素平面上にプロットしましたか。

補足

独学で何に焦点を当てればよいのか曖昧なので綺麗な模範解答を知りたいです

回答No.4

tmppassenger

S(α)でなくて、単にαですね。

回答No.3

tmppassenger

で、|r|の値に応じて S(α)がそうなるというのは、m w_1 + nw_2 = (m + (5/2)n ) + (nr)i というのがどういう値を取りうるのか、というのをじっくり眺めてみれば分かるが、真面目に論証を書こうとすると、分かっているものの、何というか面倒くさい。

回答No.1

gamma1854

時間をかけ、考えこみましたか？
まず、α=√(r^2 + 1/4). になることを導出してください。
先は「整数の問題」です。