1の6乗根

質問

1の6乗根を利用してz^6=(2+√3i)^6を求めよ。
1の6乗根は±1,±(1+√3i)/2,±(1-√3i)/2である。

全くわかりません。詳しい解説お願いします。

ちなみに、参考書によると、答えは±(2+√3i),±(1-3√3i)/2,±(5-√3i)/2です。

回答No.1

trytobe · ベストアンサー

1の6乗根 ω ＝ ±1, ±(1+√3i)/2, ±(1-√3i)/2 は、複素平面で単位ベクトル（長さ１）が、60度（＝π／３）ずつ反時計回りに向いた６つの複素数（を表すベクトル）に対応する。

この、複素数の乗算は、複素平面でのベクトルの長さ・偏角の変化に対応すること、が理解できている前提で、

z^6 = (2+√3i)^6 ＝ １×｛(2+√3i)^6｝＝ (ω^6) ×｛(2+√3i)^6｝＝ ｛ω(2+√3i)}^6 だから、

z ＝ ω(2+√3i) ＝ ±(2+√3i), ±(1-3√3i)/2, ±(5-√3i)/2

複素数 乗算 複素平面 単位ベクトル - Google 検索
http://www.google.co.jp/search?q=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0+%E4%B9%97%E7%AE%97+%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%B9%B3%E9%9D%A2+%E5%8D%98%E4%BD%8D%E3%83%99%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB

複素数 極形式 オイラーの公式 - Google 検索
http://www.google.co.jp/search?q=%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0+%E6%A5%B5%E5%BD%A2%E5%BC%8F+%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F

お礼

詳しい解説ありがとうございます。

回答No.3

gohtraw

z^6=(2+√3i)^6　より
z^6／(2+√3i)^6＝１
ｚ／(2+√3i)＝１の六乗根

回答No.2

Tacosan

単純に (2+√3i)^6 を計算すればいい. 「1の6乗根」など出てくる余地もない. もちろんその「参考書による」答えもおかしい.

お礼

詳しい解説ありがとうございます。