極限値を求める問題です。

質問

極限値を求める問題です。
lim(x=0) (1-e^x)/x
よろしくお願いします。

回答No.3

naniwacchi · ベストアンサー

こんばんわ。

(1- e^x)/x＝ -(e^x- 1)/x と変形しておいて、e^x- 1＝ tとおくことにします。
すると、x＝ log(1+t)となります。

そして、x→ 0のとき、e^x→ 1より t→ 0となるので、
(与式)
＝ lim[x→ 0] { -(e^x- 1)/x }
＝ lim[t→ 0] { -t/log(1+t) }
＝ lim[t→ 0] { -1/log(1+t)^(1/t)} （★）
＝ -1/log(e)
＝ -1

（★）印の行は、自然対数の定義である lim[h→ ∞] log(1+1/h)^h＝ eにおいて、
h＝ 1/tとすることで次行の式になります。

小技が多い感じですね。＾＾；

お礼

本当にいつもお世話になっています。ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

lim[x→0] (1 - e^x)/x
= lim[x→0] (- e^x + e^0)/(x - 0)　は
(d/dx)(- e^x)[x=0] の定義そのものですから、
これを計算するために
ロピタルの定理をあてはめる経過で
(d/dx)(e^x) = e^x を使ってしまったら、
循環論法になってしまいます。
これは、絶対にやってはいけない間違いです。

どうやれば正しい論証になるのかは
e^x を定義するやり方によって違ってくるので、
そこをハッキリさせないと何とも言えませんが、
例えば、教科書などによくある
e^x = 1 + x + (1/2)x^2 + … + (1/n!)x^n + …
を e^x の定義にする方法では、
(1 - e^x)/x = (-1){ 1 + (1/2)x + … + (1/n!)x^(n-1) + … }
の { } 内が x = 0 の近傍で一様収束することから
lim と Σ の順序交換が許されて、
lim[x→0] (1 - e^x)/x = (-1)・1 となります。

貴方の教科書では、e^x の定義は何ですか？

お礼

いつも丁寧に教えていただいてありがとうございます。これからもよろしくお願いします。

回答No.1

sanori

こんにちは！

分母も分子も極限がゼロなので、ロピタルの定理を使ってみます。
http://d.hatena.ne.jp/keyword/%A5%ED%A5%D4%A5%BF%A5%EB%A4%CE%C4%EA%CD%FD
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

分母と分子をそれぞれ微分すると、
－ｅ^x／１
ｘ⇒０　のとき　－１／１　に近づくので、答えは　－１　です。

お礼

いつもありがとうございます。