極限値を求める問題

質問

下記の極限値が求められません。

lim[x→0](2x+1-e^2x)/(1-cosx)

出来るだけ詳しく書いて頂けると助かります。
回答よろしくお願い致します。

回答No.3

info22_

0/0形なのでロピタルの定理適用して
L=lim[x→0](2x+1-e^(2x))/(1-cos(x))
=lim[x→0](2-2e^(2x))/sin(x)
まだ0/0形なのでロピタルの定理適用して
=2lim[x→0](-2e^(2x))/cos(x)
=-4(e^0)/cos(0)
=-4

回答No.2

alice_44

テイラー展開を使って計算するが、
有名な関数の展開を利用して、微分の手間を省略する。

e^z = 1 + z + (1/2)z^2 + (1/6)z^3 + …
を使って、
e^(2x) = 1 + 2x + (1/2)(2x)^2 + (1/6)(2x)^3 + …

また、
cos x = 1 - (1/2)x + (1/24)x^4 + …

これらを代入して、
( 2x + 1 - e^(2x) )/( 1 - cos x )
= { - (1/2)(2x)^2 - (1/6)(2x)^3 + … }/{ (1/2)x^2 - (1/24)x^4 + … }
= { - 2 - (8/6)x + … }/{ (1/2) - (1/24)x + … }
→ (-2)/(1/2)　　; when x→0
= -4.

回答No.1

uen_sap

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