非加算個の完備距離空間の直積空間が完備距離空間になるための条件を知って

質問

非加算個の完備距離空間の直積空間が完備距離空間になるための条件を知っている人がいたら、教えて下さい。

回答No.3

muturajcp

Λを集合とする
全てのλ∈Λに対して、X_λがコンパクト完備距離空間で
直積空間X=Π_{λ∈Λ}X_λ　が距離付可能となることが条件となります。
距離付可能とは
X_λの距離をd_λとする
Xの距離dが存在して
a∈X
全てのλ∈Λに対して
任意のε>0に対して
δが存在して　x∈X,d(x,a)<δ　→　d_λ(x_λ,a_λ)<ε

非加算個の距離空間の直積空間はほとんど距離付け不可能と思われます。
「[0,1]の場合、各距離を積分して合成したような距離を作っても」
とありますが、そのような距離は定義不可か定義できても、
距離位相は直積位相と同相にならないと思われます。
∞ノルムも定義不可か定義できても、
∞ノルム位相は直積位相と同相にならないと思われます。

ただし
「単純な直積ではなく[0,1]からC[0,1]への連続関数に限ってしま」えば
距離付可能となります。

回答No.2

noname#152421

#1です。

補足の内容であれば、とりあえず∞ノルムで考えてみたらいかがでしょう？
積分だと非退化性が崩れてしまうのでダメでしょう。

また、単純な直積ではなく[0,1]からC[0,1]への連続関数に限ってしまい、（∞ノルムでもいいですが）さらに[0,1]×[0,1]->Rとみてホモトピーみたいに考える手もあります。

お礼

回答ありがとうございます。
どうやら∞ノルムで大丈夫そうです。

後者については、当方が勉強不足のためよくわかっていないので、これから勉強したいと思います。
どうもありがとうございます。

回答No.1

noname#152421

質問者さんは質問内容についてどの程度把握して質問されてますか？
ただ漠然と聞いているのか、それともある条件下で何らかの困難を認識しているのか。
それをまず提示してもらえないでしょうか。

補足

早速ありがとうございます。

具体的には、[0,1]区間からＲへの連続関数の族で、それぞれの関数は[0,1]に属するyによってパラメータ依存している状況を考え、その族が入っている空間を考えます。
つまり空間C[0,1]を、[0,1]に属するパラメータすべてに関して直積で繋げた空間を考えています。
これが完備(というよりバナッハ空間)になればとても嬉しいのですが、どうすればなれるのかわからないでいます。
(パラメータ集合が[0,1]ではなく例えば有限集合であれば「各距離」を合成して直積距離をつくれば大丈夫だと思います。しかし今の[0,1]の場合、各距離を積分して合成したような距離を作っても、完備性を示すのがどうやるかわからないのです。。)

yに関する仮定を何か置けばよいのでしょうか。