R^1上の任意の閉集合が高々加算個の閉区間の共通部分として表されること

質問

R^1上の任意の閉集合が高々加算個の閉区間の共通部分として表されることを証明したいのですが、どのようにすればいいのかわかりません。
どなたか解説お願いします。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

閉区間の共通部分は閉区間なので、任意の閉集合を閉区間の共通部分として表すことはできない。
（たとえば、[0,1]∪[2,3]は閉集合だけど閉区間ではない）

＃１で「高々加算個の閉区間の和集合」の間違いではと書いたけど、「高々加算個の閉集合の共通部分」の間違いかも。

「高々加算個の閉集合の共通部分」だとすれば、

閉集合をAとし、その補集合をA'とすると、A'は開集合で、開集合A'の任意の点の近傍には有理数qが存在する。
A'の部分集合で、その有理数qを含む最大の開区間をA'(q)とすれば、
∪[q∈A']A'(q)=A'
qは有理数なので、A'(q)は高々加算個。
A'(q)の補集合をA(q)とすると、A(q)は閉集合で、
∩[q∈A']A(q)=A

回答No.1

nag0720

高々加算個の閉区間の共通部分？

「高々加算個の閉区間の和集合」の間違いではないですか。

補足

問題の方には共通部分と書いてるんですが…。
和集合だとどのような証明になりますか？