関数g(x)がx=2で微分可能なとき

質問

lim[x→2] {x^3 * g(2) - 8g(x)}/(x-2)をg(2)とg'(2)を用いて表せ
ただしg'(2)はg(x)のx=2における微分係数である

回答No.5

ask-it-aurora · ベストアンサー

>回答No.3補足

{x^3 g(2) - 8 g(x)}/(x - 2) =
(x^3 - 8)g(x)/(x - 2) - 8 {g(x) - g(2)}/(x - 2)
(x^2 + 2x + 4) g(2) - 8 {g(x) - g(2)}/(x - 2)
はただの分配律です．ここで
x^3 - 2 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)
を使いました．微分可能性はその次の行にある g' が存在する，というところで使っています．

ちなみに h = x - 2 とすれば x → 2 と h → 0 は同じです．したがって
g'(2) =
lim[h → 0] {g(2 + h) - g(2)}/h =
lim[x → 2] {g(x) - g(2)}/(x - 2).

お礼

ようやくわかりました
ありがとうございました

回答No.6

alice_44

←No.2 補足
＞ f'(2) = {f(2+h)-f(2)}/h ですよね
違います。f'(2) = lim[h→0] {f(2+h)-f(2)}/h です。

変形して、lim[h→0] {f(2+h)-f(2)}/h - f'(2) = 0
が言えますが、x = 2+h で置換すると、
lim[x→2] {f(x) - f(2) - f'(2)(x-2)}/(x-2) = 0
です。微分係数の定義には、
f'(2) = lim[x→2] {f(x)-f(2)}/(x-2) というスタイルも
ありますね。

f(x) - f(2) - f'(2)(x-2) = R(x) と置けば、
f(x) = f(2) + f'(2)(x-2) + R(x) かつ
lim[x→2] R(x)/(x-2) = 0 ですよね。
R(x) は、テイラーの定理の「剰余項」なんです。

←No.3 補足
＞ (x^2 + 2x + 4)はどこから出てきたのでしょうか？
A No.1 の式変形を見れば解るように、
(x^3)g(2)/(x-2) = (x^2+2x+4)g(2) によって
自然に出てくるのです。

お礼

すみません、f'(2) = {f(2+h)-f(2)}/hは入力ミスでした

何とかわかりました
ありがとうございました

回答No.4

info22_

h(x)=x^3とおくと,h'(x)=3x^2,h'(2)=12

lim[x→2] {x^3 *g(2) - 8g(x)}/(x-2)
=lim[x→2] {(x^3 -2^3)*g(2)-8(g(x)-g(2))}/(x-2)
=g(2)lim[x→2] (x^3 -2^3)/(x-2)
-8lim[x→2](g(x)-g(2))}/(x-2)
=g(2)h'(2) -8g'(2)
=12g(2)-8g'(2)

補足

lim[x→2](g(x)-g(2))}/(x-2)
=g'(2)
となるのは何故ですか？
g'(2)=lim[h→0]{g(2+h)-g(2)}/hというのが定義なのは知っていますが

回答No.3

ask-it-aurora

No.2のalice_44にある解答で間違いありません．ただあなたの使っている微分係数の定義とは違うようですね．すこしテクニカルになりますが，そっちの定義を使った証明をしましょう．

x^3 g(2) - 8 g(x) =
x^3 g(2) - 8 g(2) + 8 g(2) - 8 g(x) =
(x^3 - 8) g(2) - 8{g(x) - g(2)}

です．したがって関数 g は x = 2 で微分可能なので

{x^3 g(2) - 8 g(x)}/(x - 2) =
(x^2 + 2x + 4) g(2) - 8 {g(x) - g(2)}/(x - 2) →
12 g(2) - 8 g'(2) (x → 2).

補足

関数 g が x = 2 で微分可能だとなぜ
{x^3 g(2) - 8 g(x)}/(x - 2) =
(x^2 + 2x + 4) g(2) - 8 {g(x) - g(2)}/(x - 2)になるのですか？
(x^3 - 8) g(2) - 8{g(x) - g(2)}なら分かりますが、(x^2 + 2x + 4)はどこから出てきたのでしょうか？

回答No.2

alice_44

g(x) が x=2 で微分可能とは、
g(x) = a + b(x-2) + R(x) かつ
lim[x→2] R(x)/(x-2) = 0 となるような、
定数 a, b と関数 R(x) が存在することです。
(微分係数の定義に戻って、確認してください。
平均変化率の極限による微分係数の定義を変形
すると、こうなります。)
無論、g(2) = a, g'(2) = b です。

上記の式を、問題の式へ代入すると、
{(x^3)g(2) - 8g(x)}/(x-2)
= [(x^3)g(2) - 8{g(2) + g'(2)(x-2) + R(x)}]/(x-2)
= {(x^3-8)/(x-2)}g(2) - 8g'(2) - 8R(x)/(x-2)
なので、
lim[x→2] {(x^3)g(2) - 8g(x)}/(x-2)
= lim[x→2] {(x^2+2x+4)g(2) - 8g'(2) - 8R(x)/(x-2)}
= 12g(2) - 8g'(2) - 0
です。

補足

f'(2)={f(2+h)-f(2)}/h
ですよね
これがどう変形したら
g(x) = a + b(x-2) + R(x) かつ
lim[x→2] R(x)/(x-2) = 0
になるのでしょうか？

回答No.1

spring135

ロピタルの定理より分子分母をxで微分して

lim[x→2] {x^3 * g(2) - 8g(x)}/(x-2)

=lim[x→2] {3x^2 * g(2) - 8g'(x)}

=12g(2)-8g'(2)

補足

わかりました
しかし、出来ればロピタルの定理を使わないやり方を教えてください