中学数学の問題です。 解き方を教えてください。よろしくお願いします。

質問

中学数学の問題です。 解き方を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

（１）　点Oから線分ACに下ろした垂線の足を点Hとします。
　　　　△OACは二等辺三角形ですので、点Hは線分ACを２等分し、AH=CH=２cm　となります。
　　　　ここで、△OAHについて三平方の定理を使うと、　OH＝√(OA^2-AH^2)＝√(8^2-2^2)＝2√15 (cm) となります。
　　　　従って、△OACの面積は次のように求められます。

　　　　　　△OAC＝OH×AC/2＝4√15 (cm^2)

（２）　AP+PCの距離が最短になるのは、AP⊥OB、CP⊥OBのときです。
　　　　△OABの面積は△OACの面積に等しいですので、線分APの長さは次のように求められます。
　　　　　　AP＝△OAB/OB×２＝√15 (cm)
　　　　同様に、線分PCの長さも　√15 (cm) と求められますので、AP+PCの最短距離は　2√15 (cm) となります。

回答No.4

banakona

＞底面は三角形ＰＡＣと考えるのではないでしょうか？

その通りです。ミスりました。

あと、お気付きとは思いますが、前回の添付図は「展開図の一部」です。

（この場を借りてボヤかせてください。　このサイト、本当に使いにくくなった。　こうやって追加のご質問を引用するのも面倒になった。元に戻してくれ！）

回答No.3

banakona

（２）について。

三角錐Ｐ－ＡＢＣの体積ですが、これは∠ＡＰＢ、∠ＣＰＢが共に直角なので、底面を△ＰＢＣとすると、高さがＰＢになります。

△ＰＢＣの高さは、ＰＢ＝ＰＣ＝√１５、ＢＣ＝４で（１）と同様に三平方の定理を用いることにより√１１と求まります。よって　△ＰＢＣ＝４×√１１÷２＝２√１１
高さＰＢは＃２さんが求めてくれたように１なので、求める体積は　底面積×高さ÷３＝２√１１×１÷３＝２√１１／３

ＡＰやＯＰの長さを求める説明もしようと思ったのですが、＃２さんが先に説明なさったので、図だけ添付しておきます。

補足

ご回答ありがとうございました。
PC=PA＝√15、PB＝1と理解しました。
三角錐Ｐ－ＡＢＣの体積ですが、これは∠ＡＰＢ、∠ＣＰＢが共に直角なので、底面を△ＰＢＣとすると、高さがＰＢになります。とのことですが、
底面は三角形ＰＡＣと考えるのではないでしょうか？
△ＰＢＣの高さは、ＰＢ＝ＰＣ＝√１５、ＢＣ＝４で（１）と同様に三平方の定理を用いることにより√１１と求まります。よって　△ＰＢＣ＝４×√１１÷２＝２√１１
とのことですが、
三角形ＰＡＣの高さは、PA=PC＝√15、AC=4で三平方の定理より√11と求まる。ではないでしょうか？
すると理解できます。

回答No.2

naniwacchi

おはようございます。

(2)について、ちょっとだけ書かせてください。
立体図形の「最短距離」の問題は、展開図上で考えるのが基本です。
三角形OABと三角形OBCを展開した図を描きます。

最短距離は平面上でいう「直線」ですから、展開図上で点Aと点Cを直線で結んだ線が最短距離を与える線となります。
このときの辺OBとの交点Pに注目すると、OB⊥ACであることがわかります。
（四角形OABCがOBに対して線対称な図形なので、このことがいえます。）

線分ACの長さの求め方は、#1さんも書かれているとおり、
(四角形OABCの面積)＝ (三角形OAB)×2＝ (三角形OAC)＋(三角形BAC)

の関係を用いて求めることができます。
最後の部分では、次のような計算をします。
(三角形OAC)＋(三角形BAC)
＝ 1/2* AC* OP＋ 1/2* AC* BP
＝ 1/2* AC* (OP+ BP)
＝ 4* AC （OP+ BPは、OBのことであり 8cm）

また、線分AC（線分AC×2）の長さは、三平方の定理を用いても求めることができます。

線分APの長さが求まると、BP＝ 1cmであることがわかります。
あとは、三角すいの高さを求めないといけません。
点Oから三角形ABCに垂線を下ろし（垂線の足を Gとします）、三角形OBGの断面図を考えることで高さを求めることができます。
（三平方の定理と相似の関係を用います。）

少し計算が大変かもしれませんが、焦らずやってみてください。