二次関数の最大と最小

質問

【問】
y = (x^2-6x-2)^2+4(x^2-6x-2)+3 　(0≦x≦4)
の最大値と最小値を求めよ。

という問題なのですが、N=x^2-6x-2とおいて、
(N+1)(N-3)などと考えてみたのですが、解き方がわかりません。どなたかご教授願います。

回答No.1

stone_wash · ベストアンサー

途中まであっていたけど、それちゃいましたねｗ

今与えられた関数は、YとXの関数ですよね？
そこでYの最大最小の両方を求めるには、Xの範囲がいります。またXの範囲は与えられています。しかしこの状態では前に進みませんのでくふうするわけです。

N=X^2-6X-2 とおき、与式をYとNの関数である Y=N^2+4N+3 としたわけですね。ここで文頭で述べたことを考えると、Yの最大最小の両方を求めるにはNの範囲が必要になります。

したがって、今問題は一時的に、Nの範囲を求める問題になりました。

ではNは何なんだろうと見ます。するとNはXの関数でN=x^2-6x-2 ですよね。
また、Xの範囲は与えられているのでNの最大最小の両方を求めることができます。
計算すると、 N=(X-3)^2-11 で 0≦X≦4 より、グラフをかくなりして求めると、 -11≦N≦-2 となりました。

ここまでくれば大丈夫。
条件はそろいました。
Y=N^2+4N+3
-11≦N≦-2
となりました。
あとは計算してください。
結構適当に計算したので、あっているかは微妙ですが、
解は多分、N(-2)≦Y≦N(-11) かな？
我ながら、ほんとにあってんだか…

お礼

ありがとうございます。
文章つきでとてもわかりやすかったです。

回答No.4

ONEONE

y = (x^2-6x-2)^2+4(x^2-6x-2)+3 　(0≦x≦4)
y'=2(2x-6)(x^2-6x-2)+4(2x-6)=4x(x-3)(x-6)
yはxの4次関数だからＷ型なのでx=0、6で極小値、x=3で極大値

ｘ　│０　　　　３　　　　　４　｜
───―─────────
ｙ´│０　＋　　０　　－　　　｜
───―─────────
ｙ　│-1　／　８０　＼　　６３｜

最大値y=80　(x=3)
最小値y=-1　(x=0)

微分を使ってやってみました。わざわざ使う必要はないと思いますが。
参考程度に。＃２さんとおんなじですね。

お礼

微分は３学期に習うそうです・・・・
これを使っても解けるんですね～

回答No.3

Imiko

N=x^2-6x-2 とする---(1)
y=N^2+4N+3
=(N+3)(N+1)---(2)

(1)より
x=0 のとき
N=-2

x=4 のとき
N=4^2-6x4-2
=-10

-10≦N≦-2

(2) より
N=-10 のとき
y=(-10+3)(-10+1)
=63

N=-2 のとき
y=(-2+3)(-2+1)
=-1

-1≦y≦63

回答No.2

chocobo109

N=x^2-6x-2とおくと、
N=x^2-6x-2
=(x-3)^2-11
となり、0≦x≦4より、-11≦N≦-2
y=N^2+4N+3
=(N+2)^2-1
-11≦N≦-2より、
最大値８０（N=-11、x=3）
最小値－１（N=-2、x=0)

では？