すいませんyahooの方にも質問したのですが、急を要するのでこちらにも

質問

すいませんyahooの方にも質問したのですが、急を要するのでこちらにも質問させていただきます(>_<)

電磁気学についての質問です。
平面z=0上にσ=αsin(ax)sin(by)の表面電荷分布が与えられたときのポテンシャルを求めよ。（α,a,bは定数）
という問題なんですけど、
z=0から十分離れた場所ではx,yの値はあまり関係ないと思ったので、とりあえずz軸上で、z=0平面から十分離れた場所z=rにおいて
ポテンシャルφ(r)=1/4πε∬{αsin(ax)sin(by)/√(r^2+x^2+y^2)}dxdy
とやってみたんですけど、これから先に進めません(>_<)
そもそもやりかたが間違っているのでしょうか？？
すいません、もしよろしければどなたか解説おねがいしますm(_ _)m

回答No.3

grothendieck

境界条件がｘの関数とｙの関数の積なのでデカルト座標系での変数分離によっても解けることを述べておきます。

回答No.2

grothendieck

1/｜X - X'｜= (1/2π^2)∫dK exp[iK・(X - X')]/K^2
を代入した後、
　∫sin(kx)sin(k'x)dx = π(-δ(k+k')+δ(k-k'))
　∫cos(kx)sin(k'x)dx = 0
を使うとxとyの積分ができます。後はKの積分ですが、デルタ関数があるのでk_xと
k_yの積分はすぐできて、
　∫dk_z exp[-ik_z z']/(a^2 + b^2 + k_z^2)
という積分が残ります。z'>0 のときこれを積分するには複素k_z平面の実軸上を通り、下半平面を通って元に戻る積分路を考えます。するとk_z= -i√(a^2+b^2) にある極が含まれるので留数定理から
　∫dk_z exp[-ik_z z']/(a^2 + b^2 + k_z^2)
=(1/2πi)exp[-z'√(a^2+b^2)]/(-2i√(a^2+b^2))
z'<0 のときは上半平面を通って元に戻り k_z= i√(a^2+b^2) にある極が含まれるようにします。これでポテンシャルが求まりました。物理学の標準的な手法ですね。

回答No.1

grothendieck

質問するサイトをどちらかにするとすれば、こちらにしたのは失敗でしたね。このサイトで質問しても回答が来ないか、呆れるような回答が来るか、どちらかですよ。この問題は多少計算力が要るので回答は来ないと私は見ました。
前置きはこれくらいにして平面上の点X=(x,y,0)の電荷密度がσ(X)のとき点X'=(x',y',z')のポテンシャルは
　φ(X')=1/4πε∬｛σ(X)/｜X - X'｜｝dxdy　
になります。ここでxの積分とｙの積分を分離しなければどうにもなりません。球座標や円柱座標を使うとσ(X)=αsin(ax)sin(by)が複雑な式になります。xの積分とｙの積分を分離するためにはグリーン関数の公式
　1/｜X - X'｜= (1/2π^2)∫dK exp[iK・(X - X')]/K^2
を使うと良いでしょう。ここでK=(kx,ky,kz)は3次元ベクトル、・は内積を表します。あとはご自分でどーぞー。