静電ポテンシャルについて・・・

質問

静電ポテンシャルφ（P）＝ー∫E・ｄｓただし範囲はP_０～Pなんですが、ここでベクトルEとｄｓの内積にインテグラルの意味がわかりません。また、電荷が２個以上のときはφ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１／４πε）＊Σq_ｊ／R_jなんですがなんで電荷が２個以上の時にはインテグラルがつかないんですか？しょうもないバカみたいなもんだいだったらすいません。電磁気がまったくわからないですので勘弁してください。お願いします。

回答No.3

nta · ベストアンサー

φ（P）＝ー∫E・ｄｓ (1)
φ（ｘ，ｙ，ｚ）＝（１／４πε）＊Σq_ｊ／R_j (2)

（１）式は電荷がどのように配置されているかを表しているものではありません。電荷がいくつあっても、考える空間には全く電荷が含まれない場合でもかまわないのです。とにかく空間に電界が発生している場合に、その電荷のある場所を避けながら経路積分を行うことを意味しています。ただ、P_0は無限遠などの基準点をとります。
（２）式は具体的に電界を発生させる源としての電荷という特異点が存在する場合の式で、それが２個以上というわけでもなく、電荷が１個でもかまいません。
そういう意味では全く異なる世界観の式です。

補足

回答ありがとうございました。ただ、
（１）式は電荷がどのように配置されているかを表しているものではありません。電荷がいくつあっても、考える空間には全く電荷が含まれない場合でもかまわないのです。とにかく空間に電界が発生している場合に、その電荷のある場所を避けながら経路積分を行うことを意味しています。ただ、P_0は無限遠などの基準点をとります。
＞ある場所を避けながらの意味が良く分からないです。
また、２）式は具体的に電界を発生させる源としての電荷という特異点が存在する場合の式で、それが２個以上というわけでもなく、電荷が１個でもかまいません。
＞２個以上というわけでもなく、電荷が一個でもかまわないの意味がよくわかりません。
授業で次のような例題を静電ポテンシャルを定義した後に解きました。
例えば原点に電荷ｑがある場合を考える。電場は、E=q/４πεr^2＊（→ｒ）/ｒ
r=√(x^2+y^2+z^2)より、E・ｄｓ＝E_r・ｄｒが成立。これより静電ポテンシャルの定義式よりφ(x,y,z)＝q/4πεｒとなる。
これは（１）を用いて解いたんですが、電場の式でなんで（→ｒ）／ｒをかけないといけないのか、またE_rのときはかけなくてよいのか教えてください。

回答No.4

nta

電気磁気学では大きさのない点状の電荷を考えますが、これは非常にやっかいな性質を持っています。たとえばクーロンの法則を考えると、２つの電荷の間に働く力はF=(Q1 Q2)/(4 π ε　ｒ＾2）となるため、２点間の距離rが０になると発散してしまいます。電位（差）の定義は１クーロンの電荷を電界E中で運ぶときの仕事量Wで定義されていることはご存知だと思いますが、点電荷と同じ位置に運ぶとこのような無限大が発生してしまいます。すなわち、電荷のある場所は特異点になっているのです。
　こうした特異点を取り扱えるのがガウスの発散定理です。ガウスの発散定理は電荷を含む（なくてもよいが）閉曲面を取り扱い、閉曲面が球で電荷がその中心にあればE=Q/４πεr^2　で、その方向が球の半径方向、すなわちベクトル（->r)/rであることを示しました。補足に書かれた、このベクトル係数は球座標系での単位ベクトルです。この形式にすることにより、ベクトルとベクトルの内積であるE・dsが計算できるのです。
　話を元に戻すと、電荷は中心にあるので閉曲面上には電荷はなく、ｒ方向の電界Erがあるのみです。このような空間では（１）の式を使って電位を求めることができるので、授業ではそのように計算されたと思います。
　また、電荷が複数ある場合には重ね合わせの定理が成り立つために、電位の加法和になっているのです。

補足

親切な解説ありがとうございました。なんか少し分からなくなってきたのですが、ということは、drは(→r)/rということになるのですか？ガウスの法則もいまいちわからないので、自分で勉強してみたいと思います。よかったらなにかいい参考書(できれば問題演習付き）はないでしょうか？回答お願いします。

回答No.2

oshiete_goo

補足的アドバイスです
No.1 Mell-Lily氏の説明を引用させていただくと
＞　φ(x,y,z)=q/(4πε_0r) … (2)
が1個の電荷qによる点Pでの静電ポテンシャルで, これはスカラー量です．(つまり向きを持たない，数です．)

一方，電荷がたくさんあったときは「重ね合わせの原理」により，それぞれの電荷が点Ｐに作る静電ポテンシャル（電位）の重ね合わせ（代数和）になって，
＞　φ(x,y,z)=(1/4πε_0)Σ(q_j/r_j) … (3)
のように表されます．

回答No.1

Mell-Lily

点Pにおける静電ポテンシャルφ(P)とは、単位正電荷を点Pから基準点P_0まで動かしたときに、電場からされる仕事(得るエネルギー)のことです。
　φ(P) = -∫E・ds … (1)
において、Eとsの内積をとるのは、一般にエネルギーには力の運動方向sの成分が関係するからです。また、積分をとるのは、電場が一定ではないからです。(1)において、P_0を無限遠点とすれば、P(x,y,z)における静電ポテンシャルφ(x,y,z)は、
　φ(x,y,z)=q/(4πε_0r) … (2)
です。電場をつくる電荷が複数個あれば、全体の電場は、それぞれの電荷がつくる電場のベクトル和ですから、
　φ(x,y,z)=(1/4πε_0)Σ(q_j/r_j) … (3)
が成り立ちます。