極限の関数の連続性
関数が連続になる理由がわからないので質問します。
(1) aは0でない定数とする。x≧0のとき
f(x)=lim(n→∞){x^2n+1 +(a-1)x^n -1}/{x^2n -ax^n -1}を求めよ。
(2)関数f(x)がx≧0において連続となるように,aの値を求めよ。
(1)は解けました。(2)がわかりません。解答では
(1)より x>1のときf(x)=lim(n→∞){x +(a-1)/x^n -1/x^2n}/{1 -a/x^n -1/x^2n}=x
x=1のときf(x)=lim(n→∞){1^2n+1 +(a-1)1^n -1}/{1^2n -a1^n -1}=(1-a)/a
0≦x＜1のときf(x)=lim(n→∞){0+0-1}/{0-0-1}＝1
分からない１文は、f(x)は 0≦x＜1,x>1においてそれぞれ連続である。連続になる理由は、x≧0においてグラフが描けるからでしょうか？定義域の確認などは必要ないのでしょうか。
このあと、x≧0において連続になるためには、x=1で連続になることが必要十分条件
であるとして、lim(x→1-0)f(x)とlim(x→1+0)f(x)がともに1になるので、
1=(1-a)/aからa=1/2として答えをだしています。
どなたかf(x)=x,f(x)=1などがx≧0で連続になる理由を教えてください。
お礼
ありがとうございました。