対数と三角関数を用いた導関数の計算結果の確認

質問

y=log｜cos(e^{(-x)^2})｜
の導関数、２次導関数を求めよ。
という問題ですが
y'=1/cos(e^{(-x)^2}*(cos(e^{(-x)^2})'
でいいと思うのですが、(cos(e^{(-x)^2})'=2xsin(e^{(-x)^2}であってますか？

回答No.3

sanori · ベストアンサー

最初の回答者です。
６時間ほど前に２度目の回答を投稿したつもりが、
最後にボタンを押し忘れていたようです。（恥）

＞＞＞cos(e^{(-x)^2}の微分は2xsin(e^{(-x)^2}であっているのか確認したかったのですが、どうなんでしょう？

たしかに、当初のご質問文に書かれていましたね。失礼しました。
（等号のある式であることに気づかなかったもので・・・）

いずれ、前回回答と部分的に同じになります。
（ｙ　＝　log｜ｔ｜　と置かないだけ）

ｔ　＝　cosθ
θ　＝　ｅ^s
ｓ　＝　ｘ^2
と置けば、
｛cos（ｅ^((-x)^2)）｝’＝｛cos（ｅ^(x^2)）｝’
　＝　ｄｔ／ｄｘ
　＝　ｄｔ／ｄθ・ｄθ／ｄｓ・ｄｓ／ｄｘ
　＝　（－sinθ）・ｅ^s・２ｘ
　＝　－２ｘ・ｅ^s・sinｅ^s
　＝　－２ｘ・ｅ^(x^2)・sinｅ^(x^2)
となります。

検算お願いします。

お礼

いえいえ、回答していただきありがとうございます。
参考になりました。

回答No.2

rnakamra

>(cos(e^{(-x)^2})'=2xsin(e^{(-x)^2}であってますか？
違います。
(cos(e^{-x^2})'=(e^(-x^2))'{-cos(e^(-x^2))}
=-2xe^(-x^2)*{-cos(e^(-x^2))}
=2xe^(-x^2)*{-cos(e^(-x^2))}
です。

あと、こちらで勝手に曲解しているのですが
e^{(-x)^2}ではなく、e^(-x^2)として解いています。
e^{(-x)^2}=e^(x^2)です。マイナスを括弧の中に入れると2乗することで消えてしまいます。

お礼

あ、すみません。書き間違えました。
e^(-x^2)であってます。
回答ありがとうございます。

回答No.1

sanori

こんばんは。

まず、（－ｘ）^2　＝　ｘ^2　ですから、
ｙ　＝　log｜cos（ｅ^(x^2)）｜
ですね。

ｙ　＝　log｜ｔ｜
ｔ　＝　cosθ
θ　＝　ｅ^s
ｓ　＝　ｘ^2
と置けば、
ｙ’＝　ｄｙ／ｄｘ
　＝　ｄｙ／ｄｔ・ｄｔ／ｄθ・ｄθ／ｄｓ・ｄｓ／ｄｘ
　＝　１／ｔ・（－sinθ）・ｅ^s・２ｘ
　＝　１／cosθ・（－sinθ）・ｅ^s・２ｘ
　＝　－tanθ・ｅ^s・２ｘ
　＝　－tanｅ^s・ｅ^s・２ｘ
　＝　－２ｘ・tanｅ^(x^2)・ｅ^(x^2)

なんか、全然違いますね・・・
（計算を間違えていたら、ごめんなさい）

補足

いえ、ありがとうございます。
cos(e^{(-x)^2}の微分は2xsin(e^{(-x)^2}であっているのか確認したかったのですが、どうなんでしょう？