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クリストッフェル記号とは？
- クリストッフェル記号とは、一般相対論において使用される接続係数のことです。
- クリストッフェル記号は、局所ローレンツ系において接続係数がゼロになることを表しています。
- クリストッフェル記号によって、測地線の性質やベクトルの共変微分などを計算することができます。
- 物理学
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全面展開は手に余りそうなので，部分的に反応します。 >またなぜ、局所慣性系は接続係数が０になるのでしょうか？ 球面上のある点で接する平面を考えてください。 ２次元空間と４次元時空との違いはありますが， 球面＝曲がった時空 接平面＝局所慣性系 というアナロジーが成立すると考えればわかりやすいと思います。 このアナロジーは，計量から接続係数，共変微分にいたるまで，直感的な理解に際していつでも役にたつものです。 >この後どうすればよいのでしょうか？ クリストッフェル記号を計量テンソルで書き下ろして， g_αβ,γ=(Γ^μ_αγ)g_μβ+(Γ^μ_βγ)g_αμ の成立を確認すればよいと思います。 ※なお，クリストッフェル記号の式（☆）の（ ）の中の第３項の符号はマイナスだったような・・・。
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- yokkun831
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>(d)と(e)が未だに何を言っているのかわからないのですが・・・どういうことでしょうか？ う～ん。どういうことでしょうね。直感的には自明に近く，たとえばここでも球面とのアナロジーを使えば，赤道は測地線で接平面への投影は直線ですが，０度でない緯線は測地線ではなく接平面への投影も曲がっていますよね？ 測地線は，時空上の４元ベクトルを自分自身に対して平行を保ちながら，自分自身の方向へ移動してできると考えます。平行移動におけるベクトル成分の変化は接続係数に比例しますから，接平面である局所ローレンツ系では接続係数がゼロで，擬似ユークリッド空間となるので，時空の測地線は，局所ローレンツ系の直線に投影されます。 また，球面上の測地線＝大円は２点間を結ぶ線の中で，長さを最小とするものをつなげた線に相当し，接平面の直線に投影されますが，ミンコフスキー時空上の直線は計量の符号の違いによって（これが「擬似ユークリッド空間」と呼ばれる所以です）「長さ」最大となることからわかるように，曲がった時空の測地線は「長さ」最大の線分をつなげたものになるのです。世界線の（時間的）「長さ」は定義によってそのまま固有時に一致します。 平行移動と接続係数の関係や，測地線方程式と最小作用の原理など当たってみてください。
お礼
ありがとうございます！ なんとんなくわかってきたので色々調べたりして理解を深めたいと思います。 忙しいのに付き合って下さって本当にありがとうございました！
- yokkun831
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>この場合g_βα,γとg_αβ,γは等しいことが何らかの形で言えるのでしょうか？？ 通常計量テンソルは，対称テンソルであるものと定義されます。なぜなら，その役割から考えると，もし対称でなくても，常に対称になるように変更できるからです。 計量テンソルの定義 ds^2 = g_μνdx^μdx^ν この和の中に，dx^αdx^βの項は２つあって，その係数は(g_αβ+g_βα)となりますね？ g_αβとg_βαが等しくないとき，たとえばその平均を新しくg_αβ=g_βαととっても，直接上の計量ds^2に何の影響もありません。これは，本質的にdx^αdx^β=dx^βdx^αという積の可換性からくる，計量テンソルの基本的な性質です。
お礼
回答ありがとうございます！ 理解できました！ (d)と(e)が未だに何を言っているのかわからないのですが・・・どういうことでしょうか？
お礼
回答ありがとうございます！ わかりやすい説明ありがとうございます！ ※のとおりです申し訳ございません。 (b)なんですが・・・ (☆)⇒g_αβ;γ=0を示すことを今考えていたのですが、、、 まず、 g_αβ;γ=g_αβ,γ-(Γ^μ_αγ)g_μβ+(Γ^μ_βγ)g_αμ となりました。 つぎにこのΓを(☆)を用いて計量テンソルのみで表わして整理すると g_αβ;γ=g_αβ,γ-1/2(g_βα,γ+g_βγ,α-g_αγ,β)-1/2(g_αβ,γ+g_αγ,β-g_βγ,α) となりました。 この最後の式をみるとg_βα,γがg_αβ,γだとうまく０になってくれるのですが、計算をいくら見直しても間違いがわかりません。。。 この場合g_βα,γとg_αβ,γは等しいことが何らかの形で言えるのでしょうか？？