三角形の外心のベクトル表示について

質問

三角形の外心のベクトル表示を考えています。

具体的には、三角形OABの外接円の中心をＰとするとき、
ベクトルｐを●a+▲bと表示するときの●と▲について考えています。
この●と▲を三角形の対辺の長さα、β、ωで表示したいのですが…。

※記号の定義
Ｏ：零ベクトル
Ａ：位置ベクトルa
Ｂ：位置ベクトルb
Ｐ（外接円の中心）：位置ベクトルp

α：辺OBの長さ
β：辺OAの長さ
ω：辺ABの長さ

θ＝∠AOBとすると、
●＝（αβ－β^2cosθ）／2αβ（1-cosθ^2）
▲＝（αβ－α^2cosθ）／2αβ（1-cosθ^2）
となるところまでたどり着きましたが、
cosθをα、β、ωで表示しようとすると、
つまり、cosθ＝（α＾２＋β＾２－ω＾２）／２αβと置き換えると
一気に複雑になってしまい、なかなか整理できません。

この件について、アドバイスを頂きたいです。

外心ではなく内心の場合には
●＝β／（α＋β＋ω）
▲＝α／（α＋β＋ω）
という、美しい結果が得られます。
外心の場合にも内心のように簡潔な結果が得られないかと期待しています。

回答No.2

nag0720 · ベストアンサー

＃１の続きです。

●,▲をα,β,ωで表すと、
●=β^2(β^2-α^2-ω^2)/{(α+β+ω)(α+β-ω)(α-β+ω)(α-β-ω)}
▲=α^2(α^2-β^2-ω^2)/{(α+β+ω)(α+β-ω)(α-β+ω)(α-β-ω)}

分母はヘロンの公式に出てくる式ですから、三角形の面積をSとすれば、
●=β^2(ω^2+α^2-β^2)/(16S^2)
▲=α^2(ω^2-α^2+β^2)/(16S^2)
とも表せます。

これ以上は簡潔にはならないような気がします。

お礼

ありがとうございます。
面積が出てくると、だいぶ複雑になってきますね。

外心が三角形の面積と密接な関係があるのか、
最後の複雑な式が（α、β、γで表示できているので）
展開や因数分解の方法によってさらに簡易な式にまとめられるのか
気になるところです。

お礼が遅くなりまして、申し訳ございません。

回答No.1

nag0720

p=●a+▲b
ベクトルの内積を使えば、
(a・p)=●(a・a)+▲(a・b)
(b・p)=●(a・b)+▲(b・b)
これは●,▲に関する１次連立方程式ですから、これを解くと、
●={(b・b)(a・p)-(a・b)(b・p)}/{(a・a)(b・b)-(a・b)(a・b)}
▲={(a・b)(a・p)-(a・a)(b・p)}/{(a・b)(a・b)-(a・a)(b・b)}

(a・a)=α^2
(b・b)=β^2
((b-a)・(b-a))=(b・b)-2(a・b)+(a・a)=ω^2
より、
(a・b)=(α^2+β^2-ω^2)/2

点Pは線分OAの二等分線上にあることから、
(a・(p-a/2))=0
つまり、
(a・p)=(a・a)/2=α^2/2
同様に
(b・p)=(b・b)/2=β^2/2

以上を●,▲の式に代入すればα,β,ωで表せます。

お礼

回答ありがとうございます。

内積を持ち出す発想、とても参考になります。