ユークリッド平面
解答が合ってますでしょうか？
また、もう少しスムーズに解答する方法はあるのでしょうか？
宜しくお願いします。
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Clは閉包、bは境界のことです。
「ユークリッド平面R2の部分集合族{An:n∈N}ただし、
An={1/n}×Rについて、次の問いに答えよ。
(1) Cl(∪{An:n∈N}を求めよ。
(2) b(∪{An:n∈N})を求めよ。」
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ユークリッド平面にx,y座標を導入して、An={(x,y)：x=1/n,n∈N,y∈R}、Nは正整数、Rは実数、次のように書く。また、A=∪{An:n∈N}とする。
以下で、(x,y)は適当な点aの座標であり、xの値で場合分けして議論する。
(1) Aの閉包は、その任意の近傍がAと共有点を持つ点の全体。(2)では任意の近傍がそのようであること、(3)(4)(5)ではそうでない近傍が少なくとも一つ存在することを示す。
(1)x=1/nとなる（即ちa∈Anとなる）n∈Nが存在する場合、aはAの元なので当然Cl(A)に含まれる。
(2)x=0の場合、aの任意の近傍U(a)についてV(a;ε)⊂U(a)となるV(a;ε)が存在する。
更に1/m<εとなるm∈Nが存在し、U(a)∩Am≠φ、即ちU(a)∩A≠φ。∴a∈Cl(A)となる。
(3)x<0の場合、aの近傍V(a;ε),ε=|x/2|を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈Cl(A)でない。
(4)x>1の場合、aの近傍V(a;ε),ε=|(x-1)/2|を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈Cl(A)でない。
(5)1/(n+1)<x<1/nとなるなるn∈Nがある場合、aの近傍V(a;ε),ε=min{|1/n-x|,|x-1/(n+1)|}/2を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈Cl(A)でない。
以上より、a∈Cl(A)となるのは(1)(2)だけなので、Cl(A)={(x,y)：x=1/n,n∈N,y∈R}∪{(x,y)：x=0,y∈R}=A∪{(0,y)：y∈R}。
(2) Aの境界とは、その任意の近傍がAともAの補集合とも共有点を持つ点の全体。(1)(2)では任意の近傍がそのようであること、(3)(4)(5)ではAと共有点を持たない近傍が少なくとも一つ存在することを示す。
(1)x=1/nとなるn∈Nが存在する場合、aの任意の近傍U(a)についてV(a;ε)⊂U(a)となるV(a;ε)が存在する。
更に点P=(x-h,y),h=min{ε/2,(1/(n+1)-1/n)/2}とすると点PはAに含まれず、U(a)はA外の点Pを持つ。
a自身はAに含まれるので、aはAの境界点。
(2)x=0の場合、aの任意の近傍U(a)についてV(a;ε)⊂U(a)となるV(a;ε)が存在する。
このとき1/m<ε,m∈Nが存在し、U(a)∩Am≠φ、即ちU(a)∩A≠φ。a自身はAの補集合の元なので、aはAの境界点。
(3)x<0の場合、aの近傍V(a;ε),ε=|x/2|を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈b(A)でない。
(4)x>1の場合、aの近傍V(a;ε),ε=|(x-1)/2|を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈b(A)でない。
(5)1/(n+1)<x<1/nとなるなるn∈Nがある場合、aの近傍V(a;ε),ε=min{|1/n-x|,|x-1/(n+1)|}/2を考えるとV(a;ε)∩A=φ。∴a∈b(A)でない。
以上より、a∈b(A)となるのは(1)(2)だけなので、b(A)={(x,y)：x=1/n,n∈N,y∈R}∪{(x,y)：x=0,y∈R}=A∪{(0,y)：y∈R}。
お礼
やっぱりそこを証明しなくてはならなかったのですか． alice_44さんの回答を読みながら，講義の内容を見てみたところ，講義でもそこの証明をしていたようです． 大変わかり易く，講義の内容を理解する手助けになりました． ありがとうございました．