数IIでわからないとこが・・

質問

整式f(x)をｘ－２で割ると６余り、(ｘ－１)＾２で割ると２ｘ＋１あまる。この整式を(ｘ－２)(ｘ－１)＾２　で割ったときな余りを求めよ。

なんですが、
答えを見ると

ｆ(ｘ)＝(ｘ－２)(ｘ－１)＾２　H(ｘ)　+ax^2+bx+c　とおく

・・・

f(ｘ)を(ｘ－１)＾２で割ったときのあまりが ax^2+bx+c　を(ｘ－１)＾２
で割ったときの余りになることに注目して・・・

とあるんですがこの意味が分かりません

教えてください

回答No.4

kumipapa · ベストアンサー

＞　どうして急にax^2 + bx + c を (x-1)^2 で割ろう
＞　という考えがでてくるのでしょうか？
なぜかというと、問題文に「(x-1)^2 で割ると２ｘ＋１余る」という条件があるからです。
説明の順序が逆になってしまって申し訳ないのですが、
f(x) = (x-2)(x-1)^2 H(x) + ax^2 + bx + c
と置いた時点で、右辺の第一項(x-2)(x-1)^2H(x) は (x-1)^2 で割り切れるので、f(x) を (x-1)^2 で割ったときの余りというのは、ax^2 + bx + c を (x-1)^2 で割ったときの余りになるわけです。
元々はここが質問されていた点ですから、最初からそう説明すればよかったのでしょうね。

話がそれてしまうようですが、
f(x) = (x-1)^2 P(x) + 2x + 1
とおけますね。ここで、f(x) を (x-2)(x-1)^2 で割ったときの商は、P(x)をさらに (x-2) で割ったときの商ですので、
P(x) = (x-2)Q(x) + a
とおき、これをf(x) に代入して展開すれば、
f(x) = (x-1)^2(x-2) Q(x) + あまり
となるはずです。実際に計算してみれば、
f(x) = (x-1)^2 {(x-2)Q(x) + a } + 2x + 1
　　　= (x-1)^2(x-2)Q(x) + a(x-1)^2 + 2x + 1
あとは、f(2) = 6 より a を求めます。
さらに (x-2) で割って・・・という箇所は、f(x) を (x-2)(x-1)^2 で割ったときの商は、まず f(x) を(x-1)^2 で割った商を求め（それがP(x))、その商 P(x) をさらに (x-2) で割って得られる商 Q(x) がf(x)を(x-2)(x-1)^2で割ったときの商になるからです。その結果、f(x) を展開すれば、
f(x) = (x-2)(x-1)^2 Q(x) + 余り
になるはずですので、そうしました。

回答No.3

hugen

f(x)=(x-2)(x-1)^2 H(x)+ax^2+bx+c
f(x)=(x-1)^2 A(x)+2x+1
--------------------------------------
(x-2)(x-1)^2 H(x)+ax^2+bx+c=(x-1)^2 A(x)+2x+1
ax^2+bx+c=(x-1)^2 {A(x)-(x-2) H(x)}+2x+1
「 日本語に直すと、左辺を (x-1)^2 で割ると、余りは　2x+1 」
A(x)-(x-2) H(x)=(x を含まない)=(定数)=a
--------------------------
ax^2+bx+c=a(x-1)^2+2x+1

回答No.2

kumipapa

(x-2)(x-1)^2 で割れば、余りは２次以下の整式なので、
f(x) = (x-2)(x-1)^2 H(x) + ax^2 + bx +c
とおけるところまでは良いですよね。
さらに、ax^2 + bx + c を (x-1)^2 で割ったときの余りを dx + e とおくと、
f(x) = (x-2)(x-1)^2 H(x) + a(x-1)^2 + dx + e

これより、f(x) を (x-1)^2 で割ったときの余りは dx + e である（商は (x-1) H(x) + a である）が、これが 2x + 1 なのだから、
f(x) = (x-2)(x-1)^2 H(x) + a(x-1)^2 + 2x + 1
さらに、x-2 で割ると 6 余るのだから、
f(2) = a + 5 = 6 より a = 1
∴
f(x) = (x-2)(x-1)^2 H(x) + (x-1)^2 + 2x + 1
　　　= (x-2)(x-1)^2 H(x) + x^2 + 2

お礼

>>さらに、ax^2 + bx + c を (x-1)^2 で割ったときの余りを dx + e とおくと

どうして急にax^2 + bx + c を (x-1)^2 で割ろう
という考えがでてくるのでしょうか？

お暇なときに答えていただけたらうれしいです。

回答No.1

KappNets

何がわからないかと思ってしまいますが、まず (x-2)(x-1)^2 は３次式ですから、f(x) を (x-2)(x-1)^2 で割ったあまりは（３次式より次数が低くなるので）２次式になる、だからあまりを ax^2+bx+c とおくことが出来る。だから
f(x)=(x-2)(x-1)^2*H(x)+ax^2+bx+c
と書くことが出来る。さて f(x) を (x-1)^2 で割るとき (x-2)(x-1)^2 の方からはあまりが出ないので、あまりは ax^2+bx+c　を (x-1)^2 で割ったときのあまりということになる。