素朴な疑問２つ

質問

ふと思ったのですがy=x^xってxで微分することはできるのでしょうか？

あと、大学の講義でオイラーの公式(e^(iθ)=cosθ+i*sinθ)を知ったのですが、2^iやi^iなども計算できるのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.3

Suue · ベストアンサー

前半についてですが、両辺の対数（微積分学では自然対数）をとって両辺をｘで微分すれば、dy/dxが求まります。これは高校の範囲で扱っているはずです。

後半の質問について解答します。オイラー公式を習ったら、それを活用して、複素変数の対数を定義することができます。詳しくは複素関数論を学べば分かりますが、一般に複素変数の対数は、無限個の値をもつ無限多価関数になります。それは、指数関数の定義域を複素数全体に拡張することで、周期性が生じることに起因しています。
そして対数を用いて指数関数を定義すれば、2^iやi^iなどの値も求められる（定義できる）のです。ちなみにi^iは、実数値になり、無限個の値をとります。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.2

andybell

（前半）
y=x^xは対数微分法で具体的に微分することが出来ます。

（後半）
複素関数論（関数論、複素解析ともいう）を学べば、良いでしょう。

お礼

回答ありがとうございます

回答No.1

koko_u_

x^x = e^(xlogx) なので、x > 0 の範囲で微分可能

お礼

回答ありがとうございます