外積

質問

r→(t) = A cos wt e→_x + B sin wt e→_y （A、B,wは定数）
としたとき、角運動量を求めよという問題がありました。

一回微分して

v→(t) = -A w sin wt e→_x + B w cos wt e→_y

角運動量は　rmvなので、

(A cos wt e→_x + B sin wt e→_y) ×　(-A w sin wt e→_x + B w cos wt e→_y)
という式を作れたのはいいのですが外積を高校の時に履修していなかったのでこの計算式が

ABwm e→_z

と簡略的に表せる意味がわかりません。

同じ方向で掛け算をすると外積は0ベクトルになることは知っているのでこの式は
(A cos wt e→_x ・Bmw coswt e→_y － B sin wt e→_y・(-A mw sin wt e→_x)
となることまではわかりました。

これをどういう定義や計算の法則から
ABwm e→_z
に持ってくるのでしょうか？
わかりやすいをご説明をお願いします。

回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

→省略します．e_x,e_y,e_zはi,ｊ,kとそれぞれ書きます．物理ではそれが普通で書きやすいからです．

位置ベクトルが

r=iAcosｗt+jBsinwt

であるとき，速度ベクトルは

v=-iAwsinwt+jBwcoswt

ここで基本ベクトルi,j,kの外積（ここがポイントです）

i×i=j×j=k×k=0

i×j=-j×i=k

j×k=-k×j=i

k×i=-i×k=j

に注意すると，角運動量L=r×(mv)は

L=(iAcoswt+jBsinwt)×mw(-iAsinwt+jBcoswt)

=mw{iAcoswt×(-iAsinwt+jBcoswt)+jBsinwt×(-iAsinwt+jBcoswt)}

=mw{(-i×i)A＾2coswtsinwt+(i×j)ABcos^2wt+(-j×i)ABsin^2wt+(j×j)B^2sinwtcoswt}

=mw(kABcos^2wt+kABsin^2wt)

=mwABk(cos^2wt+sin^2wt)

=ABmwk

もとの記号に戻せば

L=ABmwe→z

となります．

お礼

それぞれの単位ベクトルの計算としてとらえて頭にi,j,kベクトルを置いて計算するとi×j＝kつまりX×Y＝Zという方向が導けるのですね。
ご親切に一つ一つ定義までご説明くださり本当にビギナーでもわかるような解説大変助かりました。今後ともご教授の程、よろしくお願い申し上げます。

回答No.1

noname#171951

（こういうのは物理カテで質問したほうがいいとおもうけど）

＞角運動量は　rmvなので、

r×p

になってませんでした？ただしpは運動量。
つまり、普通の掛け算ではなくて”×”が含
まれていたはず。

＞これをどういう定義や計算の法則から

”×”は次の性質を満たします。

u,v,wを実3次元空間のベクトル、
aを実数としたとき、
(1) (u+v)×w=(u×w)+(v×w)
(2) (au)×v=a(u×v)
(3) u×v=-(v×u)

これらを使って計算してみてください。
ちなみに、同じもの同士を”かける”と0になる
のは(3)によります。

お礼

ご親切にご教授下さり誠にありがとうございます。