【問題】∫[2 to 3]√(3+2x-x^2)dxを計算せよ。

質問

【問題】∫[2 to 3]√(3+2x-x^2)dxを計算せよ。
√(x+1)(3-x)と因数分解してみたのですが…
なにか意味がるのでしょうか??…

これでは解けないです^^;

どなたかよろしくお願いします!!!!

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

定石がありますので、因数分解しても無駄なだけです。

(3+2x-x^2)=4-(x-1)^2
なので
x-1=2tと置換すると良いでしょう。
I=∫[1/2,1] {2(1-t^2)^(1/2)}*2dt
=4∫[1/2,1] {(1-t^2)^(1/2)}dt
さらにt=sin(y)(π/6≦y≦π/2)と置換すると良いでしょう。
この範囲でcos(y)>0であることを考慮して
I=4∫[π/6,π/2] cos^2(y)dy
=2∫[π/6,π/2] {1+cos(2y)}dy

後は積分できると思いますのでやってみて下さい。

お礼

最初の表し方はその方がわかりやすいですね!!!
ありがとうございました^^ｗ
またひとつ解き方がわかりました。。。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3の計算結果は
I=(2π/3)-(√3)/2
となります。

注)#2さんの結果と一致しています。
計算結果が正しいことは数式処理ソフトでもやってみて確認済みです。

お礼

計算結果がこちらも一致しました^-^ｗ
ありがとうございました!!!!

回答No.2

spring135

u=x-1とおくと
∫[2 to 3]√(3+2x-x^2)dx=∫[1 to 2]√(4-u^2)du
u=2sintとおくと
∫[1 to 2]√(4-u^2)du=∫[π/6 to π/2]4(cost)^2dt
=2∫[π/6 to π/2](cos2t+1)dt (倍角公式）
=[π/6 to π/2]([sin2t+2t]
=2π/3-√3/2

計算間違いをしているかもしれません。チェックしてください。

お礼

計算までいていただきありがとうございました^^ｗ

回答No.1

noname#29493

え、分かりやすくするため。
まず因数分解して√(x+1)(3-x)かけば
t＝x-1と変化しそれぞれあてはめると
√(x+1)(3-x)＝√(t+2)(2-t)＝√4-t^2で
変数変換もしやすいし、計算もしやすいじゃん。
あとは√4-t^2を1から2までtについて積分するだけ。
これはt=2sinΘとかおいてやればできる。がんばれ

お礼

あの方式になるんですね!!!
ありがとうございました^^ｗ