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法8に関するDirichlet指標全体と位数4のAbel群
- 法8に関するDirichlet指標全体をX(8)で表し、X(8)が位数4のAbel群であることを示す。
- さらに、(X(8),・)がZ_2×Z_2と同型であることを示す。
- (i) χ_0, ρ_4, ρ_8, ρ_4ρ_8がDC(8)の可換な部分群であることを示す。
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X(8)の元τを任意に取る 奇数aを任意に取るとa^2≡1 (mod 8)となるから {τ(a)}^2=τ(a^2)=τ(1)=1 よってτ(a)=±1となる。 bが偶数のとき、τ(b)=0である。 τ(1)=1である τ(3)=τ(5)=1のとき τ(7)=τ(3)τ(5)=1 このときτ=χ_0 τ(3)=1,τ(5)=-1のとき τ(7)=τ(3)*τ(5)=-1 このときτ=ρ_4*ρ_8 τ(3)=-1,τ(5)=1のとき τ(7)=τ(3)*τ(5)=-1 このときτ=ρ_4 τ(3)=τ(5)=-1のとき τ(7)=τ(3)*τ(5)=1 このときτ=ρ_8 以上よりτはχ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4*ρ_8のいずれかであることが分かるから、X(8)⊂{χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4*ρ_8}がわかる。
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- yoikagari
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<ρ_4,ρ_8>からZ_2×Z_2への全単射fは f(χ_0)=(0mod2,0mod2),f(ρ_4)=(1mod2,0mod2),f(ρ_8)=(0mod2,1mod2),f(ρ_4*ρ_8)=(1mod2,1mod2) と置けばいいと思うけど・・・・。
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皆様,大変大変有難うございました。 お蔭様で解決できました。m(_ _)m
- yoikagari
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ρ_4(a):=(a/4),ρ_8(a):=(a/8) (但し,(/)はJacobiの記号) とあるけど普通、Jacobiの記号(a/m)を考えるとき、mは奇数なんだよね。 mが偶数のときのヤコビの記号(a/m)というのは、あまり一般的ではないと思う。 少なくとも俺は、(a/4),(a/8)なんてヤコビの記号を見たことがない。 悪いけど、出来れば説明がほしい。 テキストにあったとすれば、ヤコビの記号の定義はどうなっているのか？ 自分で考えたとすれば、どういう意味で使ったのか？ すまないが、質問者からの説明ががほしい。
お礼
> ρ_4(a):=(a/4),ρ_8(a):=(a/8) (但し,(/)はJacobiの記号) > とあるけど普通、Jacobiの記号(a/m)を考えるとき、mは奇数なんだよね。 > mが偶数のときのヤコビの記号(a/m)というのは、あまり一般的ではないと思う。 > 少なくとも俺は、(a/4),(a/8)なんてヤコビの記号を見たことがない。 > 悪いけど、出来れば説明がほしい。 これは大変失礼いたしました。 ρ_4とρ_8の定義は ρ_4(a):=(-1)^{(a-1)/2} (a≡1 (mod 2)の時), 0 (a≡0 (mod 2)の時) ρ_8(a):=(-1)^{(a^2-1)/8} (a≡1 (mod 2)の時), 0 (a≡0 (mod 2)の時), でした。 「χ∈X(m),m|nならχ∈X(n)」という命題よりρ_4∈X(8)と言えますね。 そして「χ_1,χ_2∈X(m)に於いてχ_1χ_2(a):=χ_1(a)χ_2(a)と定義すればχ_1χ_2∈X(m)」 という命題からρ_4ρ_8∈X(8)ともいえますね。 後は χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}はDC(8)の可換な部分群となる(∵略). ですがχ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}=DC(8)も示さねばなりませんよね。 それで (ii) {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}⊃X(8) である事はどうすればいいのでしょうか? そして (iii) <ρ_4,ρ_8>～Z_2×Z_2(={(0mod2,0mod2),(0mod2,1mod2),(1mod2,0mod2),(1mod2,1mod2)})を示せばよい。 ここで(ii)の(∵??)の箇所,つまり法8に関するDirichlet指標全体は {χ_0,ρ_4,ρ_8,ρ_4ρ_8}以外に無い事と (iii)の箇所で <ρ_4,ρ_8>からZ_2×Z_2への同型写像fをどのように定めればさせればいいのでしょうか?
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