底が 0 の対数関数は、定義域がないので記号の組み合わせに過ぎません。
ですが、それを敢えて考えてみます。
通常の対数関数と区別するため、g(a,x) で表します。
＃定義域は a∈R+, x∈R+ です。a=0 は下記で定義します。
指数関数も同様に、f(a,x) で表し、a≠0 の場合は通常の指数関数とします。
＃定義域は a∈R+, x∈R です。
両関数は逆関数であり、f(a,g(a,x))=x になります。
g(0,x)=0 と仮定してみます。ただし、x>0 です。
指数法則 f(a,x+y)=f(a,x)*f(a,y) より g(a,x*y)=g(a,x)+g(a,y)。
これが a=0 でも成り立つと考えると、次の式が導けます。(m,n∈N)
g(0,x^m)=0
g(0,x^(1/n))=0
g(0,1)=0
g(0,1/x)=0
これらを合わせると、g(0,xの有理数乗)=0 になります。
指数法則 f(a,x*y)=f(f(a,x),y) より g(a,f(x,y))=g(a,x)*y。
これが a=0 でも成り立つと考えると、g(0,xの実数乗)=0 になります。
さて質問ですが、予想では「x=1 で g(0,x)=0 ならば x>0 で g(0,x)=0」が導けると考えてました。
＃f(a,x) では指数法則を使って「x=1 で f(0,x)=0 ならば x>0 で f(0,x)=0」になります。
でも導けたのは、どちらも「x≠1 で g(0,x)=0 ならば x>0 で g(0,x)=0」です。
＃前の方の結果には、無理数乗は含まれていませんけどね。
予想は間違いだったと言えるでしょうか？
お礼
＞・g(0,x)=0 for all x>0 なるほど。単純なミスをしていました。(汗) ここは、「ある x>0 について g(0,x)=0 を仮定する」だったのに。 出し直します。 ありがとうございました。