経営数学

質問

経営数学の問題なのですが、正答がわからないので質問します。

　窓口が１つの待ち行列システムにおいて、時刻ｔにおいてシステム内に客が２人いて、次の時間幅Δｔの間に新しい客が到着しないでかつ、今サービス中の客もサービスが終了しないで立ち去らない場合の確率を求めなさい。　　　　ただし、時刻ｔにおいてシステム内に客が２人いる確率をＰ2（ｔ）とし、客の到着が単位時間にλ人であり、窓口が休みなく働いた場合に単位時間にサービスを完了する人数をｕ人とする。

　Ｐ2(ｔ)×(１－λΔｔ)（２ｕΔｔ)
でよいのでしょうか？まだ答えはあるのでしょうか？お願いします。

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

hatioさん、こんばんは。
とても面白そうな理論なので、調べてみました。

トランザクションの到着を
到着率　λ（ラムダ）
サービス率　μ（ミュー）
指数分布によるＭ/Ｍ/１待ち行列
時刻t→t+Δt

このとき、単位時間当たりの到着率をλとすると、
微小時間Δtに到着する確率はλΔt　であるから、
微小時間に誰も到着しない確率は1-λΔt

確率λΔt　でトランザクションが一つ到着する。
確率μΔt　でサービスが一つ完了する。
確率1-λΔt-μΔt　でトランザクションの到着もなく、サービスの完了もない。

のように書かれています。
数学的に考えると、トランザクションの到着と、サービスの完了は
独立事象のようなので、＃１さんのように
(1-λΔt)(1-μΔt)
とするのかな、とも思うのですが・・
経営数学では、
(1-λΔt)(1-μΔt)=1-λΔt-μΔt+λΔt・μΔt
　　　　　　　　　　　　　　　　↑
ここを、あまりにも小さいということで、無視するのでしょうか。

さて、続きです。
状態確率Pn(t)←（システム内に、トランザクション数がnである確率）
における状態方程式は、

Pn(t+Δt)=Pn(t){1-λΔt-μΔt}+Pn+1(t)μΔt+Pn-1(t)λΔt
P0(t+Δt)=P0(t){1-λΔt}+P1(t)μ(t)

となるらしいです。これによると、

P2(t+Δt)=P2(t){1-λΔt-μΔt}+P3(t)μΔt+P1(t)λΔt

となりますね。

ですから、問題のシステム内にお客が2人いて
誰も新しいお客が到着しないで、かつサービスも完了していない確率は

P2(t)×{1-λΔt-μΔt}

となるようです。詳しくは参考URLを見てください。
ご参考になればうれしいです。

参考URL：

http://www.heppoko-online.com/it/queue.html

回答No.1

kony0

Ｐ2(ｔ)×(１－λΔｔ)（１－ｕΔｔ)
が正解と思います。

ちなみに、このあとは
P2(t+dt) = P1(t)λdt(1-udt) + P2(t)(1-λdt)(1-udt) + P3(t)(1-λdt)udt
から、
P2'(t) = λP1(t) -(λ+u)P2(t) + uP3(t)
を求めたりするのでしょうか？