待ち行列

質問

待ち行列について質問です。

タクシーと客の待ち行列についてなのですが、

・タクシーの到着率：μ、ランダム到着
・客の到着率：λ、ランダム到着
・客は１台のタクシーに乗る
・タクシーに乗り込む時間は無視できる

このとき、この待ち行列は
M/M/1型なのでしょうか？あるいは
M/M/c型なのでしょうか？

分かる方いらっしゃいましたら、解説お願いします。

回答No.4

ymmasayan · ベストアンサー

No.1です。前言撤回します。
考えが足りませんでした。
タクシーが複数台待つことを考えるとＭ／Ｍ／１ではないですね。

タクシーということでちょっと混乱しましたが
前にこれとよく似た問題をやったことがあります。

駐車場の入口ゲートが１個だけあるときにゲートの前に待ち行列ができます。
これがＭ／Ｍ／１かどうかというものです。
うっかりすると単一窓口に見えてしまうのですが、これは駐車スペース分の窓口数の複数窓口なんですね。
タクシーと同じパターンなのですが、駐車場の方がなんとなくわかりやすいのは私だけでしょうか。
走っているのと止まっているのとの違いかも知れません。

お礼

ご解答ありがとうございます。

本日、友人とまたこの問題について話し合ってみたのですが、友人に

「タクシーが数台待っていても、客の到着率がλで、一気にまとまった人数で来ることはなく、また客は１台のタクシーを選ぶ。
一方、客が何人か待っていても、タクシーの到着率がμで、一気にまとまった台数でくることはなく、またタクシーは１人の客に選ばれるので、やはりM/M/1ではないか？」

と言われ、返す言葉がありませんでした。。

というのも、客・タクシーとも、まとまって２人・台以上でくることはなく（来たとしても、さいころを投げる瞬間のように時間差が生じている）、客・タクシーが到着した瞬間に、その客・タクシーはサービスを受ける・受け付けるため、M/M/1と考えられる、とも思えるからです。

しかし、定義ではタクシーが２台以上タクシー乗り場にいた地点で、すでにM/M/1ではありません。。

今日でさらに混乱してしまいました、、

やはりM/M/1なのでしょうか？どうしてもM/M/cであると思うのですが・・・

でも駐車場の入り口の問題と確かに似ております。

２度もご解答いただき、有難うございました。

回答No.3

kentarou2333

まずは、タクシーの業務を考えてみましょう。

基本的にタクシーの乗り場は、ｎ台のタクシーの運転手がずっと当番しています。

そして、誰かお客さんを乗せると、その人を運んでまた戻ってきます。

ｎ台のタクシーで、次から次へとくるお客様を処理している。
つまり、ｎ個の受付で来たお客さんを処理しているのと同様になるわけです。

そのため、M/M/c のモデルになります。

例えば、何人かのお客さんが、一気にきた場合、
M/M/1 のモデルでは、タクシーが十分に待っていた場合でも、
最後の人は待つことになってしまいます。

今回の問題では、「タクシーに乗り込む時間は無視できる」という
仮定があるため、お客さんがたくさん一気にきても、
タクシーが十分に余っている場合には、即座にそれらを処理できます。

そして、タクシーの台数以上のお客さんがくると、そのサービス時間だけ
待つようになります。

このように、M/M/c のモデルの方が適しているというのが、
おわかりいただけるかと思います。

お礼

ご解答ありがとうございます。

やはりM/M/cですか。

というのも、私がこのモデルはM/M/cでは？と友人に聞いたところ、

M/M/1では？と返されたため、どちらが正しいのか困っていたところです。

＞例えば、何人かのお客さんが、一気にきた場合、
M/M/1 のモデルでは、タクシーが十分に待っていた場合でも、
最後の人は待つことになってしまいます。

確かにその通りですね、これでは最初の仮定と矛盾してしまいます。

ご解答ありがとうございました。

回答No.2

a-saitoh

客が来なくてタクシーが列を作って待っているという状況を考えなければ，M/M/1で良いと思います．

専門家の端くれなのですが，授業を受けたのがン20年前くらいなので．．．．

お礼

ご解答ありがとうございます。

この問題の性格上、タクシーが列を作って待っている状況も考慮に入れる必要があると思います。
というのも、タクシーの到着率μが、客の到着率λよりも大きければ、やはりタクシーが次第に乗り場にあふれてくるのではないでしょうか？
そう考えると、M/M/cと考えてしまうのですが・・・

しかし20年も前のことを覚えていらっしゃるとは・・・

因みに私はおとといの夕飯を思い出すのに苦労します＾＾；

回答No.1

ymmasayan

Ｍ／Ｍ／１ですね。
タクシーの到着は客の到着と同じようにポアソン到着となります。
裏を返せば到着間隔は指数分布です。
これは窓口１つの指数分布処理と同じです。
(タクシーのいない時間は窓口が処理中と考えればいいわけです)

つまりＭ／Ｍ／１ということになります。

お礼

う～ん、M/M/1ですか、、、

しかし、タクシーが何台も待っている場合、サーバー（タクシー）の大きさは１とはならないと思うのですが・・・

というのも、客があふれている状態であれば、タクシーは０台、すなわち、到着次第すぐにタクシーは出てしまうので、タクシー乗り場にはタクシーが待ち行列を作らない。
客が全く来ない状態であれば、タクシー（窓口）は１台以上に増えていくのではないでしょうか？

友人はM/M/1といっていたのですが、どうも納得できずに質問しました。
一方、上記の議論でどこかに間違いがあれば、ご指摘をお願いいたします。