線形時変形(Linear Time Varying System)の安定性

質問

制御系設計の教科書に、「線形時変形(Linear Time Varying System; LTV システム) では、システム行列Ａの各時刻での固有値の実部が負であっても安定とは限らない。」と記載されているのですが、"負であるのに不安定になる例"を教えて頂けないでしょうか。1ヶ月も考えたのですが、どうしても具体例が思い浮かばないのです。

システムの方程式は、次式です。

d x
---- = A(t) x(t) + B(t) u(t)
d t

回答No.2

reiman · ベストアンサー

文字ｕ（ｔ）が重複していたので修正します。

安定判別に入力ｕ（ｔ）は無関係なので
ｕ（ｔ）＝
（０）
（０）
とします。

初期条件は
ｘ（０）＝
（１）
（１）

ｘ（ｔ）＝
（ｐ（ｔ））
（ｑ（ｔ））

Ａ（ｔ）＝
（－ａ（ｔ）　　　　１）
（　　　　　－ａ（ｔ））

ａ（ｔ）＝１／（ｔ＾２＋１）
ｐ（ｔ），ｑ（ｔ）はスカラー

とすると

ｐ（ｔ）＝ｅｘｐ（－ｔａｎ＾－１（ｔ））
　　　　＋ｅｘｐ（－ｔａｎ＾－１（ｔ））∫［τ：０→ｔ］ｅｘｐ（－２ｔａｎ＾－１（τ））ｄτ
ｑ（ｔ）＝ｅｘｐ（－ｔａｎ＾－１（ｔ））
となるので

ｌｉｍ［ｔ→∞］　ｐ（ｔ）＝∞
となります。

回答No.3

reiman

行列には普段０成分は書かない癖があるので
行列の成分に０が抜けていました。

Ａ（ｔ）＝
（－ａ（ｔ）　　　　１）
（　　　０　－ａ（ｔ））

お礼

早速の回答をありがとうございます。

reiman様の回答でよく理解できました。どうもありがとうございます。

回答No.1

reiman

ｘ（ｔ）＝
（ｕ（ｔ））
（ｖ（ｔ））

Ａ（ｔ）＝
（－ａ（ｔ）　　　　１）
（　　　　　－ａ（ｔ））

ａ（ｔ）＝１／（ｔ＾２＋１）

を検討されたらどうでしょうか？