システム科学の問題なのですが・・・

質問

なかなか解けなくて困っています。
できるだけ詳しい解説、解答がいただけると嬉しいです。

問.レジが一か所だけのコンビニがある。商品を持ってレジに来る客は、平均到着率がλのポアソン到着であり、レジでの会計はサービス率がμの指数分布サービスであるとする(ただし、μ>λ)時刻tにおいて、会計を待つ客の数がnである確率をPn(t)で表すとして以下の問いに答えなさい。

(1)Pn(t+⊿t)をPn(t)、Pn-1(t)、Pn+1(t)、λ、μ、⊿tを用いて表せ。

(2)P0(t+⊿t)をP0(t)、P1(t)、λ、μ、⊿tを用いて表せ。

(3)上の二式より⊿t→0の極限をとってPn(t)、P0(t)が従う微分方程式を導き、さらにPn(t)、P0(t)は定常であるとしてPnとP0の関係式を求めよ。

レジに来る客は一時間に平均80人、レジでの会計には一人平均30分かかるという。

(4)商品をもって会計に行った時、レジの空いている確率はいくらか

(5)会計を待って列に並んでいる人数は平均何人か。

(6)列に並んでいる時間は一人平均何分か。

(7)レジに並び始めてから会計を終えて立ち去るまでにかかる時間は、一人平均何分か。

どうか、よろしくお願いいたします。

回答No.1

Mr_Holland

(1) P[n](t+⊿t)=(1-μ⊿t)λ⊿tP[n-1](t)+{(1-μ⊿t)(1-λ⊿t)+μ⊿t*λ⊿t}P[n](t)+μ⊿t(1-λ⊿t)P[n+1]

(2) P[0](t+⊿t)={(1-λ⊿t)+μ⊿t*λ⊿t}P[0](t)+μ⊿t(1-λ⊿t)P[1](t)

(3) P'[n](t)+(μ+λ)P[n](t)=λP[n-1](t)+μP[n+1](t)
　　 P'[0](t)+λP[0](t)=μP[1](t)

　P'[0](t)=P'[n](t)=0 のとき
　　P[1]=ρP[0]　　（ただし、ρ=λ/μ）
　　(μ+λ)P[n]=λP[n-1]+μP[n+1]　
だから、この漸化式を解いて
　∴P[n]=ρ^n*P[0]

（以上詳細は、下記URL参照）
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427/math/sw_waitque2.html

(4)　1=Σ[n=0→∞] P[n] =P[0]/(1-ρ)　∴P[0]=1-ρ
＞レジに来る客は一時間に平均80人、レジでの会計には一人平均30分かかるという。
　レジの処理時間が遅くないですか？　以下、30秒　の誤りとして計算します。
　λ=80[人/時], μ=120[人/時]　∴ρ=λ/μ=2/3
　　P[0]=1-ρ=1/3

(5)　コンビニ内の平均客数Lは
　　L=Σ[n=0→∞] nP[n] =(1-ρ)Σ[n=1→∞] nρ^n =ρ/(1-ρ)　　（∵　L-ρLの計算から）
　列に並んでいる平均客数Lqは
　　Lq=Σ[n=1→∞] (n-1)P[n] =L-(1-P[0]) =ρ^2/(1-ρ) =4/3 [人]

(6)　平均待ち時間Wqは
　　Wq=Lq/λ =ρ/{μ(1-ρ)} =1/60 [時間] =1 [分]

(7)　Wq+1/μ =1/40 [時間] =1.5 [分]

（以上詳細は、下記URL参照）
http://www.geocities.co.jp/Technopolis-Mars/5427/math/sw_waitque3.html

　計算ミスがあるかもしれませんが、よろしければ参考にしてください。