キャンセルあり待ち行列のパラメータ推定

質問

時刻tの待ち行列の大きさをX_tとします。
到着率をαとし、これはポアソン過程に従うとします。
αはすでに求まっているとします。
また、すでに待ち行列に並んでいる人は
単位時間あたりδでキャンセルしていくとし、
これもポアソン的に生じるとします。
また、時間tは普通の時間ではなく、到着・キャンセルが生じるたびに
+1するというやりかたで計ることにします。
したがって、到着・キャンセルが同時に起こることはありません。

すでに数列X_tは与えられています。
αも分かっています。
この条件の下で、δを推定したいのですが、
どのようにしたらよいでしょうか？

とりあえず、考えてみた推定法は以下の通りです。
1.到着が入るとよく分からないので、
　キャンセルが行われた時間区間だけを取り出す。
　つまり、X_tが単調減少な区間だけを対象に、
　X_0　→(キャンセル)→　X_1 →(キャンセル)→　・・・　→X_n
2.X_0で割って、どのように減っていったかの数列を出す。
　つまり、
　1、X_1/X_0、・・・、X_n/X_0
3.これの平均値を出す。
　1、<X_1/X_0>、・・・、<X_n/X_0>
4.この数列に対し、exp(-δt)を仮定して回帰によってδを算出

ところが、データを人工的に作って、この方法によって
δを求めてみた結果、
（回帰によって出たδ）=(理論値のδ)/α
となるようなのです。
これはなぜでしょうか？

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

#1です。すみません。ますます分からなくなりました。

まとめると

到着とキャンセルが発生していてそれぞれポアソン。
(出口処理は考える必要がない）
到着のファクターは分かっている。

時間軸をラベル化しているが元の時間もデータとしてある。

ということでいいのですか。。。
元の時間もあって、データが十分あるなら普通は

δ=　キャンセル回数/全時間

あるいは途中で行列に0が発生してキャンセルが起こりようが
ない時間帯が有ったなら

δ=　キャンセル回数/(全時間－0であった時間)

キャンセル回数が不明でも最初と最後の人数の減少数がデータとしてあるなら
到着人数はαtなので

キャンセル回数＝減少数＋αt

で求まると思うのですが、これではまずい理由があるのでしょうか？

お礼

>時間軸をラベル化しているが元の時間もデータとしてある。

えーと、元の時間もデータとしてありますが、
先行研究ではイベントタイムを用いているので、
私もそのようにしています。

実は理論値どおりキャンセル率が求まらなかった理由は、
別のところにあったみたいです。
とりあえず締め切ります。
なんかあまりまとまってなくてすみません。

回答No.2

stomachman

実時間の情報を捨ててしまっているはずなのに
> 4.この数列に対し、exp(-δt)を仮定して回帰によってδを算出
というのは意味不明です。なぜなら、実時間(Tとしましょう）を無視してtという番号を持ち込んだのだから（Tについてポアソン過程であっても）tに関してはポアソン過程にはなっていません。

> 1.到着が入るとよく分からないので
とおっしゃいますが、到着が生じない間は（δが幾らであろうと、0でなければ）待ち行列は1ずつ減っていくだけのことです。（数値実験をなさったのなら、グラフを描いてみればこの区間が単なる直線であることが分かるでしょう。）だからこの区間だけを取り出してδに関する情報を得ようとするのはあまり旨い手とは思えません。
　むしろ、待ち行列の長さの変化（到着かキャンセル）が生じた回数によって測る「時刻t」（tを実際の時間Tで測ると、α+δの到着率を持つポアソン過程になってる）のモデルを構成した上で、待ち行列の長さの変化が生じたときの変化の平均（毎回1か-1だけれども、平均はαとδの比で決まる）を考えてみてはいかがでしょうか。

　それはさておき、本題であるご質問の現象は、多分、分母に待ち行列の長さを含んでいるものを多数平均した結果として現れたのでしょう。大雑把に言えば、(X-t)/X　(t=1,2,…)にexp(-δt)をフィットすると、exp(-δt)≒1-δtであるからδ≒1/Xと推定される。これがδ/αに似ていると仰っているんだと思います。

お礼

ありがとうございます。
お礼が遅くなってしまって申し訳ありません。

>実時間の情報を捨ててしまっているはずなのに
>> 4.この数列に対し、exp(-δt)を仮定して回帰によってδを算出
>というのは意味不明です。なぜなら、実時間(Tとしましょう）を無視して
>tという番号を持ち込んだのだから（Tについてポアソン過程であっても）
>tに関してはポアソン過程にはなっていません。

ごもっともです。
そもそもポアソン過程は連続時間を仮定してますね。
離散時間（イベントタイムt）で計った場合、
「exp(-δt)を仮定して回帰によってδを算出」というのはまずいということでよいでしょうか？

「ポアソン過程」というのは忘れてしまったほうがよいかもしれません。
ランダム・独立にある一定の確率でキャンセル率を求める、ということです。

回答No.1

age_momo

読んでみていくつか疑問があるので補足要求です。

(1)処理も指数時間(ポアソン発生)なのでしょうか？そのパラメーターは？
窓口処理もキャンセルもポアソンならM/M/2の特殊なもの(二つの係数が違う)に
なると思うのですが。

(2)　>到着・キャンセルが生じるたびに+1する
意味が分かりません。到着、キャンセルが生じないと時間が進まないのですか？
それだとポアソンにならないように思いますが。。。
どのようなシミュレーションを考えておられるのでしょう？

(3)単調減少をキャンセルとして扱っているようですが、窓口処理による減少とは
区別がついているということでしょうか？

お礼

窓口処理を忘れてました。
窓口処理もポアソン過程で、パラメータは単位時間処理率μです。
ですが、とりあえず、窓口を考えると難しそうなので、なくてもいいです。
考え方を教えてもらえれば、自分で考えてみたいと思います。

>到着、キャンセルが生じないと時間が進まないのですか？
>それだとポアソンにならないように思いますが。。。

そうですね、実時間と到着・キャンセルによる時間（イベントが起きるたびに+1されるので、イベントタイムと呼ぶことにします。）の
両方を考えています。
つまり、
到着　到着　キャンセル　キャンセル　到着　キャンセル　キャンセル
　↓　　↓　　　　↓　　　　　　　↓　　　　　↓　　　　　↓　　　　　　　↓
----------------------------------------------------------------実時間
を等間隔に並べて、
　↓　　↓　　↓　　　↓　　　↓　　　↓　　　↓
----------------------------------------------------------------イベントタイム
ということです。
ですが、到着・キャンセルが同時には起きないということが本質なので、
実時間だけを考えれば十分の気もしてきました。
ですから、イベントタイムでなくてもよいです。

>単調減少をキャンセルとして扱っているようですが、窓口処理による減少とは
区別がついているということでしょうか？

それは問題ありません。