待ち行列の問題です

質問

情報検定24年度前期の問題に待ち行列が出題されましたが、まったくわかりませんでした。
http://jken.sgec.or.jp/docs/past_test/120909_mondaijs03.pdf

＜設問＞次の代表的な待ち行列モデルＭ/Ｍ/１に関する記述中の()に入れる
べき適切な字句を解答群の中から選べ。

まず，窓口利用率を考える。単位時間にサービス窓口がサービス（処理）を行って
いた割合であるから，表中の記号を使って窓口利用率を表すと，ρ＝ts×λで求められる。
次に，平均待ち時間Ｗqを考える。トランザクションが到着したとき，窓口でサービス中のト
ランザクションも含めて(Lｑ＋ρ)個のトランザクションが，待ち行列系内に存在している。
この系内に存在するトランザクションが，サービスを受けて待ち行列から抜け出すまでの時間で
あるから，表中の記号を使って，Ｗq＝ρ/(1-ρ)×tsで求められる。
最後に，到着してから窓口でサービスを受けて抜け出すまでの平均時間tqを考える。
これは，平均待ち時間とサービス時間の合計であるから，tq＝(1)で求められる。
今，1分間に平均9件のトランザクションが到着し，1件当たりの平均サービス時間を5秒とする。この場合，単位時間を窓口で1分とするとλ＝９(件/分)，μ＝(2)(件/分)，ta＝(3)(分/件),ts＝(4)(分/件)となり，ρは(5)となる。この窓口利用率の値が(6)を超えると，処理能力を超えるこ
とになる。また，Ｗqは(7)秒，tqは(8)秒となる。

答えは、
(1) 1/1-ρ×Tｓ　　(2)　12　　(3)　1/9　　(4)　1/12
(5)　0.75　　(6)1.0　　(7)　15　　(8)　20

です。

解説をお願いします。

回答No.3

jjon-com

▼平均到着率 λ（ラムダ）…単位時間に到着するトランザクションの平均数
▼平均到着間隔時間 Ｔa …到着するトランザクションの平均間隔時間。

前者の単位は「１単位時間あたり？件（すなわち，件／単位時間）」で，
後者の単位は「１件あたり？単位時間（すなわち，単位時間／件）」なので，
両者は逆数の関係になる。この問題のデータ例では，
λ＝ ９(件／分) としたので，Ｔa＝1/9(分／件)★解答(3)

▼平均サービス率 μ（ミュー）…単位時間にサービスするトランザクションの平均数
▼平均サービス時間 Ｔs …サービスを受けるトランザクションの平均処理時間

前者の単位は「１単位時間あたり？件（すなわち，件／単位時間）」で，
後者の単位は「１件あたり？単位時間（すなわち，単位時間／件）」なので，
両者は逆数の関係になる。
この問題のデータ例では，単位時間を秒ではなく分に合わせるため，
１件当たりの平均サービス時間（Ｔs）＝５(秒／件)＝5/60(分／件)＝1/12(分／件)★解答(4)
その逆数である μ＝12(件／分)★解答(2)

▼窓口利用率 ρ（ロー）…単位時間当たりの窓口利用率
▼表中の記号を使って窓口利用率を表すと，ρ＝Ｔs×λ で求められる。

Ｔsの単位は 分／件，λの単位は 件／分，なので，
その積の単位は分子分母で相殺されて単なる比となる。
Ｔs×λ ＝ 解答(4)×９ ＝ 1/12 ×９ ＝9/12 ＝3/4 ＝0.75★解答(5)

平均到着数λ ９(件/分)→［窓口］→ 12(件/分) μ 平均サービス時間

のデータ例が表すように，到着数よりもサービス数の方が大きい場合には待ち行列はあふれないが，この大小関係が逆転すると処理能力を超える。
このデータ例の ρ ＝Ｔs×λ ＝１/μ × λ ＝1/12 ×９ ＝0.75 ならば大丈夫だが，
ρ≧1.0★解答(6) になったら処理能力を超えて待ち行列はあふれるということ。

▼平均待ち時間Ｗqを考える。
▼表中の記号を使って，Ｗq＝ρ／(１－ρ) ×Ｔs で求められる。

Ｗqの単位は，分／件。ρ＝0.75，Ｔs＝1/12 を代入して，
0.75／0.25 × 1/12 ＝3/12 ＝1/4(分/件) ＝15(秒/件)★解答(7)

▼到着して窓口でサービスを受けて抜け出すまでの平均時間Ｔq
▼これは，平均待ち時間とサービス時間の合計であるから，

Ｔq＝平均待ち時間＋サービス時間 ＝Ｗq＋Ｔs
＝(ρ／(１－ρ) ×Ｔs)＋Ｔs
＝(ρ／(１－ρ) ＋１)×Ｔs
＝(ρ／(１－ρ) ＋(１－ρ)／(１－ρ))×Ｔs
＝((ρ＋１－ρ)／(１－ρ))×Ｔs
＝１／(１－ρ) ×Ｔs★解答(1)

ρ＝0.75，Ｔs＝1/12 を解答(1)に代入して，
１／0.25 × 1/12 ＝4/12 ＝1/3(分/件) ＝20(秒/件)★解答(8)
解答(8)は
Ｔq ＝Ｗq＋Ｔs ＝解答(7)＋解答(4) ＝ 15＋5 ＝20(秒/件) でも同じ。

回答No.2

ok-kaneto

(1)
tq=Wqだから

(2)
1件当たりの平均サービス時間を5秒・・・1分あたり12件のサービスが可能

(3)
ta=1/λ

(4)
ts=1/μ

(5)
ρ=λ/μで覚えた方が早いです。

(6)
通常0<ρ<1です。1より大きいと処理時間>到着間隔なので、列が無限大になりおかしくなります。