積分の使い分けの仕方

質問

高校数学の積分です。

∫[0,1] x*(e^-x^2) dx = [x*(-1/(2x))e^-x^2][0,1] = [(-1/2)e^-x^2][0,1]

となるのに

∫[0,1] (x^3)*(e^-x^2) dx = [(x^3)*(-1/(2x))e^-x^2][0,1] = [(-(x^2)/2)*e^-x^2][0,1]

とはせずに、部分積分を使うのは何故でしょうか。
回答お願いします。

回答No.1

Tacosan

「とはせずに」もなにも x^3 e^(-x^2) の原始関数は (x^3)*(-1/(2x))e^(-x^2) じゃないんだからそうできないのは自明.
不定積分自体は結局「テクニック」です. 「こういうときはこんな風」というノウハウの塊.

お礼

回答ありがとうございます。
原始関数のことは考えてませんでした。微分⇔積分が成り立たなければダメでしたね。