積分がわかりません

質問

積分を大雑把にやったものです。

∫[1,0] 1/(X^2+1) dx

という問題で詰まってしまったのですが、今の自分に解けるかわかりません。
高校数学の知識だけで解けるのか教えてください。

回答No.1

shkwta · ベストアンサー

まず、x = tan(t) を、t　で微分してみましょう。

　　x = tan(t) = sin(t)/cos(t)
⇒　dx/dt = ((cos(t))^2 + (sin(t))^2)/((cos(t))^2)
⇒　dx/dt = tan(t)^2 + 1

これを利用して、置換積分をします。

x = tan(t)　とおきます。

∫[1,0] 1/(X^2+1) dx = ∫[π/4,0] 1/((tan(t)^2)+1) (dx/dt) dt
= ∫[π/4,0] (1/(tan(t)^2 + 1)) (tan(t)^2 + 1) dt
= ∫[π/4,0] 1 dt

※上の計算では、商の微分公式、sinとcosの微分、tan・sin・cosの関係、置換積分の公式を使用しています。

お礼

ありがとうございます。
三角関数が出てくるとは意外です。
おかげですっきりしました。