6-17 再質問の高校数学の確率の問題です
6-17 再質問の高校数学の確率の問題です
2種の文字A,Bの順列について考える 同一文字の1つづきを1つの連という 例えばAABABB
ではAA,B,A,BBの4個の連を持つ A,Bを5個ずつ計10個を1列に並べるときの連の個数の期待値を求めよ
解説 A,B5個ずつ計10個の順列は[10]C[5]とおり考えられるが、そのうち連がk個であるものがa[k]通りあるとすると,たとえばa[5]については5連のうち3連がAで2連がBのものと,3連がBで2連がAのものとが考えられるが
5個を3分割する方法は○↓○↓○↓○↓○の4本の↓から2本を選ぶ方法に対応し(たとえば左から2,4番目の↓を選んだとすると○○↓○○↓○というように5個の○を3分割すると考える)
その個数は[4]C[2]で一般のk分割だと[4]C[k-1]通りであるから a[5]=[4]C[2]・[4]C[1]+[4]C[1]・[4]C[2]=2[4]C[2]・[4]C[1]
このようにしてa[2]～a[10]を求めると
a[2]=2[4]C[0]・[4]C[0]=2,a[3]=2[4]C[1]・[4]C[0]=8,
a[4]=2[4]C[1]・[4]C[1]=32,a[5]=2[4]C[2]・[4]C[1]=48,
a[6]=2[4]C[2]・[4]C[2]=72,a[7]=2[4]C[3]・[4]C[2]=48,
a[8]=2[4]C[3]・[4]C[3]=32,a[9]=2[4]C[4]・[4]C[3]=8,
a[10]=2[4]C[4]・[4]C[4]=2
したがって求める期待値は
1/[10]C[5]・(2・2+8・3+32・4+48・5+72・6+48・7+32・8+8・9+2・10)=1512/251=6
別解 a[2]=a[10],a[3]=a[9],a[4]=a[8],a[5]=a[7]が成り立つから、求める期待値は
1/[10]C[5]・{(2a[2]+10a[10])+(3a[3]+9a[9])+(4a[4]+8a[8])+
(5a[5]+7a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・{(6a[2]+6a[10])+(6a[3]+6a[9])+
(6a[4]+6a[8])+(6a[5]+6a[7])+6a[6]}=1/[10]C[5]・Σ[k=2→10]6a[k]=6 (Σ[k=2→10]a[k]は順列の総数[10]C[5]に等しい)
研究 一般にn個ずつだと、連の個数の期待値は別解の解法によりn+1個になることがわかります (nが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるわけである)
研究のnが十分に大きいと1つの連の文字数の期待値は2となるとあるのですが、何故そう分かるのですか？1つの連の文字数の期待値は、単純に文字の総数2nを連の個数の期待値で割ればよいので、2n/(n+1)となります。と教わりましたが良く分かりません、何でそんな事が成り立つのか教えてください
