場合の数

質問

方程式a＋b＋c＋d=8を満たす負でない整数の組(a,b,c,d)は全部でM個ある。
このうちabcd≠0となる組はN個ある。
このときＭ：Ｎの問題

4H8＝(4+8-1)C8＝165
は＋b＋c＋d=8から(a,b,c,d)を選ぶことなのでしょうか？

なぜa+b+c+d=4と考えて
4H4をもとめるのでしょうか？

回答No.2

Mr_Holland

前半は＃１さんが答えられていますので、後半について少し説明を添えておきます。

＞なぜa+b+c+d=4と考えて4H4をもとめるのでしょうか？

　重複を許す組み合わせの場合、対象となるもの（ここでは、a,b,c,d)が０を含んでいなければ、nHrという形に書くことができません。
　いま、a,b,c,dの条件は、abcd≠0となる負でない整数とのことですから、４つの数はすべて１以上の整数ということになります。
　そこで、４つの数字から１ずつ引いて
　　a'=a-1, b'=b-1, c'=c-1, d'=d-1
と、新たに４つの数字を持ってくると、これらはすべて０以上の整数となりますので、重複を許す組み合わせのnHrという計算が使えるようになります。
　元の４つの数字a,b,c,dに対する条件をa',b',c',d'に書き換えますと、
　　a+b+c+d＝(a'+1)+(b'+1)+(c'+1)+(d'+1)＝８
　∴a'+b'+c'+d'＝４
となりますので、４つの文字から４回の重複を許して選ぶ組み合わせの問題に置き換えられます。
　このことを利用して場合の数を求めますと、
　　4H4＝7C4＝３５
と求められるということです。

回答No.1

metis

この問題は、言い換えると「a,b,c,d、4つの文字の中から、重複を許して8個選ぶ」ということになります。
選ばれた数が、その変数の値になるわけですね。(aabbccddなら、a,b,c,d全て2になる）
また、abcd≠0と言うことは、a,b,c,d全てが0以外、と言うことになるので、予めa～d全てに1を与えて置きます（この段階で合計4）
残りの4を、重複を許して選ぶので、質問文にあるような式が出来上がります。