部屋割り論法の問題の解き方

質問

部屋割り論法を利用する問題の解き方の方針などを教えてください。

⑴　1 辺の長さが1 の正六角形の周および内部に7 個の点をとったとき，そのうちの2 点で，距離が1 以下となるようなものが少なくとも
1 組存在することを示せ。
⑵　n を自然数とするとき，相異なるn + 1 個の整数の中に，その差が
n の倍数である2 数が必ず存在することを示せ。
⑶　100 以下の自然数から51 個を選ぶと，必ず和が101 になる2 数
が存在することを示せ。
⑷　100 以下の自然数から21 個を選ぶと，この中にa + b = c + d
をみたす4 数a，b，c，d が必ず存在することを示せ。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
正６角形の中心と各頂点を結ぶ線分で正６角形を６個の領域に分ける。
同じ領域に２点があればその２点間の距離は１以下となる。
(2)
自然数をnで割った時の余りは0からn-1までのn通りであるので、n+1個の自然数をnで割った時に余りが等しいものがある。
(3)
100以下の自然数を50組に分けて、各組には51-iと50+i(ただしiは1から50までの自然数)が入るようにする。100 以下の自然数から51 個を選ぶと必ず同じ組に入るものがある。
(4)
選ばれた21個の自然数から2個を選ぶやり方は21C2=210通りであるが、100 以下の自然数から選んだ2個の自然数の和は3から199までの197通りしかないので、必ず和が同じになる2個の組がある。