基本的な事かもしれませんが・・・

質問

０≦ｘ≦３で定義された関数ｆ(ｘ)＝(ｘ＾２－２ｘ)＾２＋(ｘ＾２－２ｘ)＋１がある。
(１)ｘ＾２－２ｘ＝ｔとおくときｔのとりうる範囲を求めよ。
(２)ｆ(ｘ)の最大値、最小値を求めよ。

ｆ(ｘ)＝ｔ＾２＋ｔ＋１となって標準変形をした所でとまっています。ｔのとりうる値の範囲はどのように求めればいいのかが、分かりません。簡単な事を質問しているかもしれませんが、分からないので回答よろしくお願いします。

回答No.2

guowu-x · ベストアンサー

t=x^2-2x=(x-1)^2-1
0≦x≦3だから
-1≦t≦3　となります。
縦軸にt，横軸にxをとってt=x^2-2x=(x-1)^2-1 のグラフを書いてみてください。
x=1のとき，最小値t=-1
x=3のとき，最大値t=3
をとるはずです。

ｆ(ｘ)＝ｔ＾２＋ｔ＋１=(t+1/2)^2+3/4
ですね。
(1)でもとめた文字の範囲-1≦t≦3に注意して
ｆ(ｘ)＝(t+1/2)^2+3/4　の最大値最小値を求めると
t=-1/2 で最小値3/4，t=3で最大値12をとることが分かります。
縦軸にf(x)，横軸にtをとって，f(x)＝(t+1/2)^2+3/4
のグラフを書いて、確認してください。

ちなみにこの問題は，かなり大事な問題です。
「文字の置き換え」をしたら、必ず「文字の範囲」を考えなければなりません。
この問題では、（1）でそれを誘導していますが、誘導がなくてもやらなければなりません、絶対に。
もし、-1≦t≦3 を無視してf(x)の最大値、最小値を求めると、本問では最小値は3/4とたまたま一致しますが、最大値は定義できなくなりますね。

お礼

丁寧な解説を有難うございました。

回答No.5

guowu-x

#2です。
f(x)の最大値は、13ですね。
計算ミスでした。

お礼

そうですよね！！私も１３になりました。

回答No.4

mmky

＃３です。間違えかた書いちゃいましたね。
＃１，２さんの指摘のように
-1≦t≦３　でしたね。＃３は忘れてね。ごめん。

お礼

回答ありがとうございました。今後質問した際には回答、よろしくお願いします！！

回答No.3

mmky

参考程度に
０≦ｘ≦３で定義された関数ｆ(ｘ)＝(ｘ＾２－２ｘ)＾２＋(ｘ＾２－２ｘ)＋１がある。
(１)ｘ＾２－２ｘ＝ｔとおくときｔのとりうる範囲を求めよ。

tの取り得る範囲ですから、｛関数の範囲ではありませんね。｝
０≦ｘ≦３, ｘ＾２－２ｘ＝ｔ,
ここで、ｘに0, 3を代入すれば、tの取り得る範囲は、
０≦t≦３　になりますね。
（ｘ＾２－２ｘ）を変数ｔで置換する場合、置換した新しい変数ｔの取り得る範囲を決めるということですね。

(２)ｆ(ｘ)の最大値、最小値を求めよ。
（1）の置換を用いますね。
t=ｘ＾２－２ｘ と置けば、
f(x)[0≦x≦3]=ｇ(t)[0≦t≦3]　になりますね。だからｆ(x)の代わりのｇ(t)で考えるという問題ですね。求めたｔの範囲を使って、
０≦t≦３, f(t)=ｔ＾２＋ｔ＋１
ｇ(t)の最小値は、ｔ=0 のときで、g(0)=1
ｇ(t)の最大値は、ｔ=3 のときで、g(3)=9+3+1=13
ｇ(t)=f(x) だから、f(x)の最大、最小はｇ(t)と同じということですね。

ちなみに、f(x)で検証すると、
x=0、ｆ(0)=１
x=3, f(3)=(3＾2－2*3)＾2＋(3＾2－2*3)+1=13
で同じになりますね。
ということでしょうかね。

回答No.1

Singollo

t=x^2-2xより
=(x-1)^2-1
0≦x≦3だから
x=1のときt=-1、x=3のときt=3(1は3より0に近いのでx=0の場合は考えなくてよい)
よって-1≦t≦3じゃないでしょうか

お礼

回答、有難うございました。私も同じ答えになりました。