この問題が解けるかたいらっしゃいませんか？

質問

閉区間[0,2π]上で定義されたｘの関数ｆ（ｘ）＝∫（０→π）sin（｜ｔ－ｘ｜＋π/4)ｄｔの最大値および最小値とそのときのｘの値をそれぞれもとめよ。
難しくてとけません。解ける方よろしくおねがいします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

0<=x<=πのとき
f(x)=∫(0→x) sin(-t+x+π/4)dt+∫(x→π) sin(t-x+π/4)dt
=[cos(-t+x+π/4](0→x)+[-cos(t-x+π/4)](x→π)
=cos(π/4)-cos(x+π/4)-cos(π-x+π/4)+cos(π/4)
=√2-cos(x+π/4)+cos(x-π/4)
=(√2)(1+sin(x))
x=π/2のとき最大値「2√2」, x=0,πのとき最小値「√2」 ...(A)

π<=x<2πのとき
f(x)=∫(０→π) sin(-t+x+π/4)dt
=[cos(-t+x+π/4)](０→π)
=cos(-π+x+π/4)-cos(x+π/4)
=-cos(x+π/4)-cos(x+π/4)
=-2cos(x+π/4)
=-√2(cos(x)-sin(x))
x=7π/4のとき最小値「-2」,x=πのとき最大値「√2」 ...(B)

(A),(B)まとめて
x=π/2のとき最大値「2√2」, x=7π/4のとき最小値「-2」