確率振幅の考え方

質問

光子をビームスプリッタBSに入射させ、検出器1,2 で検出するとします。

　　　　光源Ａ
　　　　　｜
　　　　　｜
光源Ｂ――／――[検出器１]
　　　　　｜
　　　　　｜
　　　　[検出器２]

光源Ａからやってくる光子の状態ベクトルは

|A> = i √R |1> + √ T | 2>

となります。iはBSで位相がπ/2 ずれることを表していて、
反射確率が R 、透過確率が T です。
|1> は検出器１に検出された状態、
|2> は検出器２に検出された状態です。

もし同時に、光源Aから区別できない２つの光子がやってきたとすると、
状態ベクトルは
|A>A> = ( i √R |1> + √ T | 2>)(i √R |1> + √ T | 2>)
= - R |1>|1> + T |2>|2> + i√(RT) |1>|2> + i√(RT) |2>|1>

となります。ここで各複素振幅の自乗の和は１なので問題ありませんが、
最後の二項をまとめると

|A>A> = - R |1>|1> + T |2>|2> +2 i√(RT) |1>|2>

となるので、確率が保存しなくなります。つじつまを合わせるために、
二項をまとめたときの確率振幅を

|A>A> = - R |1>|1> + T |2>|2> +√2 i√(RT) |1>|2>

としてやると問題ありません。同じことを今度は光源Bから１個、
光源Aから１個の区別できない光子が同時にやってきたとします。

|B> = √T |1> + i√ R | 2>

なので

|A>B> = ( i √R |1> + √ T | 2>)(√T |1> + i√ R | 2>)
= i√(RT)|1>|1> + i√(RT) |2>|2> + T |2>|1> - R |1> |2>

ここまでは確率は保存しています。ところが最後の２項をまとめると

|AB> = i√(RT)|1>|1> + i√(RT) |2>|2> + (T - R) |1> |2>

となります。
この場合は、|1>|1> や|2>|2> のほうに√2 をつけて解決するようです。
つまり|1>|1> は検出器１側に２個の光子がある状態なので
光子数０にたいしてa^† を２回かけたものと同等として
強引に√ 2 を作り出して

|AB> = i√(2RT)|検1に２個> + i√(2RT) |検2に２個> + (T - R) |検1,2に１個づつ>

これで一応確率は保存されます。

確率振幅を確率を保存させるために操作するやりかたについて、
あまり理解できていません。ご教授頂けると幸いです。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>でも今読んでいる本ではそれをまとめてしまっているのです。つまり
>基底の変換を行っているのだと思います。
文脈がないと何を言っているのかさっぱり分りません。

ボソン(波動関数が粒子の交換に対して対称云々)とかの話が分っていれば理解できそうな話だと思うのですが。
例えば、
|1>|2>
|2>|1>
|A>|B>=( i √R |1> + √ T | 2>)(√T |1> + i√ R | 2>)
この3つはいずれも現実の2光子系を記述する状態ではない事は分かるのですか？

お礼

どうもありがとうございますm(..)m

「工学系のための量子光学」という本を読んでいまして、
使っている記号は違うのですが、ここで書きましたように
|A>|B> を単純に計算して、|1>|2> と|2>|1>を説明無しにまとめてしまって、
最後に|1>|1> と|2>|2>の係数を調整する方法が載っていました。
なぜそのようなことをするのか全然わかりませんでした。

その本から離れてアドバイスに従いましてボース粒子の２粒子系を考えました。
最初に光源Aから２個の光子がやってくると、この場合は
|AA> = |A>|A>以外にありえないので、

|AA> =(i √R |1> + √ T | 2>)(i √R |1> + √ T | 2>)
= -R |1>|1> + T |2>|2> + i√RT |1>|2> i√RT|2>|1>

ここで、
|φ> = 1/√2 (|1>|2> + |2>|1>)

という状態を１つの状態（ボース粒子２個）とすると、

|AA> = -R |1>|1> + T |2>|2> + i√2RT |φ>

となり、確率の合計はR^2 + T^2 + 2RT = (R+T)^2 = 1 となり問題ありません。

次に光源Aから１個、光源Bから１個の光子がやってきたとします。
状態が異なる場合の２つのボース粒子は

|AB> = 1/√2 (|A>|B> + |B>|A>)
= 1/√ 2 (( i √R |1> + √ T | 2>)(√T |1> + i√ R | 2>)
+ (√T |1> + i√ R | 2>)( i √R |1> + √ T | 2>))

と書かれます。計算すると

1/√2 (2 i√(RT) |1>|1> +(T-R) (|1>|2> + |2>|1>) + 2 i√(RT)|2>|2>)

となります。ここで

|φ> = 1/√2 (|1>|2> + |2>|1>)

という（ボース粒子）状態を導入すると、

1/√2 (2 i√(RT) |1>|1> +(T-R)√2 |φ> + 2 i√(RT)|2>|2>)

となり、確率振幅の二乗和を計算すると

1/2 (4 RT + 2 (T-R)^2 + 4RT) = (T+R)^2 = 1

となり問題ありません。

こんな感じでよろしいでしょうか？　
読んだ本に振り回されすぎたような気がしてきました(^^;

回答No.3

eatern27

まぁそんな感じです。
その本でどう説明したかったのかは知りませんが、少なくとも光子がボース粒子である事を考えれば√2のファクターが出てくるのは理解できるでしょう。

きちんと説明しようと思ったら、世の中にはボース粒子とフェルミオンがあって～、と色々な事を説明していかなきゃいけないでしょうから、そこの説明を端折って「とにかくこう計算すればＯＫ」という事だけ書いたのでは。工学系の人向けだったらそれで十分な事も多い・・・のでは。
ところで、確率振幅の二乗和が1になる事を確かめて「正しい」かどうかの判断を行っているようですが、これが1になるように
>|φ> = 1/√2 (|1>|2> + |2>|1>)
>|AB> = 1/√2 (|A>|B> + |B>|A>)
この辺で√2で割っているわけで、確率振幅の二乗和が1になるのは当然の話です。

お礼

そうですね。工学系と断っている本なので、あまり
細かいことより使えればいいという考え方なのかも
しれないです。
確率振幅の二乗和のことなのですが、これはその本の話の
展開として出てきていました。
|1>|2> と|2>|1>をまとめてしまった後で、
確率の和が１になっていないことに触れ、そして確率振幅の
調整を行うという説明になっていました。

量子情報関連をさらっと調べようとしてハマってしまいました。
どうもありがとうございました。助かりました。

回答No.1

eatern27

|1>|2>≠|2>|1>です。

お礼

どうもありがとうございます。
|1>|2> という状態と|2>|1> という状態は異なるということですね。

でも今読んでいる本ではそれをまとめてしまっているのです。つまり
基底の変換を行っているのだと思います。
最初の例では |1>|2> と|2>|1>を１つの状態（グループ）とみなしてしまい、
その際に確率が保存するように確率振幅を調整しているように
思えました。

ところが後者の例では、基底の変換をまた違った考えで
行っているようにも思えます。
もう少し考えて見ます。ありがとうございました。