数学IIの問題について

質問

a+b+c=a^2+b^2+c^2=2のとき
a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2を証明する問題がわかりません。

よろしくお願いいたします。

回答No.2

momordica

別に＃1さんの解答で全く問題ないのですが、せっかく対称式になっているので、

まず、a, b, c を3つの解に持つ次のような3次方程式を考えます。
　(x-a)(x-b)(x-c)=0

これを展開して
　x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0　　…(1)

ここで仮定より、
　a+b+c=2
　ab+bc+ca={(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)}/2
　　　　　　　=(4-2)/2
　　　　　　　=1
ですから、これらを(1)に代入して
　x^3-2x^2+x-abc=0
　∴　x^3-2x^2+x=abc

左辺を因数分解して
　x(1-x)^2=abc　　…（2）

a, b, c はそれぞれこの方程式（2）の解ですから、代入すると
　a(1-a)^2=abc
　b(1-b)^2=abc
　c(1-c)^2=abc

したがって、
　a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2
となります。

まあ、お好きなやり方で解けばよろしいかと思います。

回答No.1

info22_

a+b+c=2から
　a+b=2-c …(1)
自乗して
　a^2+b^2+2ab=(2-c)^2
　ab={(2-c)^2-(a^2+b^2)}/2 …(2)
a^2+b^2+c^2=2より
　a^2+b^2=2-c^2 …(3)
(3)を(2)に代入
　ab=(1-c)^2
∴ c(1-c)^2=abc　…(4)
(4)を導いたのと同様にして
　a(1-a)^2=abc …(5)
b(1-b)^2=abc …(6)
が成り立つ。

(4),(5),(6)から
∴ a(1-a)^2=b(1-b)^2=c(1-c)^2