微分方程式

質問

y''-4y'+4y=e~x
の一般解を求めよという問題の解答を教えてください。

(D~2-4D+4)y=e~x
y=(D~2-4D+4)~(-1)e~x
こんな感じでやるんでしょうか？？
でも重根だから、、、とかいろいろ考えてわからなくなってしまいました。
よろしくお願いします。

回答No.2

stkmghck

まず、y=A(x)e^xとおきます。これを式に代入すると
(A''-2A'+A)e^x = e^x
となりますので
A''-2A'+A = 1 ...(1)
という式が得られます。これは
(D-1)^2 A = 1 ...(2)
とできます。ここで
B(x) = (D-1)A(x) ...(3)
とおきます。すると、(2)式は
(D-1)B = 1 ...(4)
となり1次微分方程式の形になります。さらに、
B(x) = C(x) - 1 ...(5)
とおきますと、(4)式は
(D-1)C = 0 ...(6)
となります。これは簡単に解けますね。
C = a e^x (aは定数) ...(7)
この結果を(3)(5)式に代入すると、
(D-1)A = a e^x - 1 ...(8)
が得られます。
ここからは今までと同じように変換をしていけば解けます。
今度は
A(x) = E(x) + 1 ...(9)
とおきますと、(8)式は
(D-1)E = a e^x ...(10)
となります。さらに
E(x) = F(x)e^x ...(11)
とおきます。すると、(10)式は
DF = a ...(12)
となります。これを解くと
F = ax + b (bは定数) ...(13)
が得られます。最後に(9)(11)(13)から
A = (ax + b)e^x + 1
となりなすので、解yは
y= (ax + b) e^{2x} + e^x
となります。

ANo.1の方の方がシンプルですかね．．．

回答No.1

jamf0421

(D^2-4D+4)y=e^x→(D-2)^2y=e^x
になって、これの特殊解と右辺=0の場合の一般解と足せばよいです。
(D-2)^2y=0
の独立な二つの解はe^(2x)とxe^(2x)です。よって
y=Ae^(2x)+Bxe^(2x)
次に
y=e^x/(D^2-4D+4)
はDにe^xのxの係数を入れるのがお作法ですから
y=e^x/1=e^x
よってあわせて
y=Ae^(2x)+Bxe^(2x)+e^x
となります。