分数の形の漸化式

質問

分数の形の漸化式は、なぜｂ[n]=a[n]-αとおくのか？

a[1]＝４、a[n+1]＝（４a[n]-9）／（a[n]-2）

（ｎ＝１，２、３，・・・）
で定められる数列の一般こうa[n]を求める。

という問題で、ｂ[n]=a[n]-αとおいて漸化式を解くとあるのですが、
なぜ、ｂ[n]=a[n]-αを思いついたのか？
教えていただけますか？

参考までに、問題の答えは、a[n]＝（１／ｎ）+3です。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>分数の形の漸化式は、なぜｂ[n]=a[n]-αとおくのか？

数列{a_n}が極限aをもつということは
数列{a_n - a}が0に収束するという意味．
そして，数列{a_n}が漸化式a{n+1}=f(a_n)を満たすならば
a=f(a)であることが「期待できる」．
＃あくまでも「期待できる」だけで実際はfの形に当然依存する．

ここで，b_n=a_n-a とおくことで
b_{n+1}=g(b_n)
とうまく変形できれば，0=g(0)となることが期待でき，
0はいろいろ扱いやすいところがある．
b_n->0は|b_n|->0を示せばよいことになる．
絶対値がついたので，今度は絶対値に関する
各種の不等式（大抵は三角不等式）の応用が可能になる．

こういうような流れ．
これは分数の漸化式だとかに限定の話ではない．
一般項が不明だが極限だけはわかるというケースは
この手の流れが多く，
0と絶対値と「はさみうち」を使う．