数B 数列 漸化式

質問

次のように定められた数列の一般項a(n)を求めよ。a1=3,a(n+1)=a(n)+n+1 (n=1,2,3••••••)

この問題の解き方が分からないので教えて下さい！！よろしくお願いします！

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

a(1) = 3
a(2) = a(1) + 1 + 1 = 5
a(3) = a(2) + 2 + 1 = 8
a(4) = a(3) + 3 + 1 = 12
a(5) = a(4) + 4 + 1 = 17
a(6) = a(5) + 5 + 1 = 23
...
この辺でやめておきます。

さて、数列3, 5, 8, 12, 17, 23, ...
の隣同士の差をとると、
2, 3, 4, 5, 6, ...
となります。

元の漸化式に戻って考えると、
a(n+1) - a(n) = n + 1
と変形できますので、
{a(n+1) - a(n)}という数列を{b(n)}とすると、
その一般項は、b(n) = n + 1
よって、n ≧ 2のとき、
a(n) = a(1) + Σ(k=1～n-1)(k + 1)
= 3 + n(n - 1)/2 + n - 1
= 3 + (n - 1)(n + 2)/2
= (n^2 + n + 4)/2
この式は、n = 1のとき、a(1) = (1 + 1 + 4)/2 = 3
となり、条件を満たしているから、
すべての自然数nについて、a(n) = (n^2 + n + 4)/2
としてよい。

「階差数列」というものについて研究してみましょう。

お礼

とてもよく分かりました！！本当にありがとうございました！

回答No.2

gohtraw

a1=3
a2=a1+２
a3=a2+３
a4=a3+４
・・・・・
an=a(n-1)+n
これらを辺々加え、等号の左右で共通するもの（例えばa1とかa2とか）を
消去していくと左辺はanだけが残り、右辺は
３＋Σｋ　（ｋの範囲は２からｎ）
が残ります。
Σｋ　（ｋの範囲は３からｎ）　＝（ｎ＋２）（ｎ－１）／２
なので、
an=３＋（ｎ＋２）（ｎ－１）／２
　＝（ｎ＾２＋n－２＋６)／２
　＝（ｎ＾２＋ｎ＋４）／２

お礼

ありがとうございます^_^