数B 漸化式の問題

質問

数列{a[n]}は、初項a[1]=2, a[n+1]=a[n]/(4a[n]+3) (n=1,2,3,……)により定められる。数列{a[n]}の一般項を求めよ。

逆数をとり、
1/a[n+1]=(4a[n]+3)/a[n]=(3/a[n])+4

ここまでは分かるのですが、どのように
b[n+1]=b[n]+…
のような形に持っていくのかが分かりません。

解答はa[n]=2/{5・3^(n-1) -4}なのですが、
自分でやってみると、
a[n]=3/(4n-2/7)
のようになってしまします。

よろしくお願いします。

回答No.1

ONEONE · ベストアンサー

1/a[n+1] = 3(1/a[n]) + 4
ですから
b[n] = 1/a[n]
とおくと
b[n+1] = 3b[n] + 4
となり
b[n+1] + 2 = 3(b[n] + 2)
と変形できて、さらに
c[n] = b[n] + 2
とおくと
c[n+1] = 3c[n]
となって、これは等比数列の漸化式です。

あとは分かりますね。

お礼

解けました。ありがとうございました。

回答No.2

uuu-chan

b[n]=1/a[n]
とおきます。このとき
b[n+1]=1/a[n+1]
となります。従って、
1/a[n+1]=(3/a[n])+4
1/a[n+1]=3×(1/a[n])+4
b[n+1]=3b[n]+4
という式になります。

お礼

ありがとうございました＾＾