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難解な積分

私は工学部の学生です。 次の定積分が解けなくて困っています。  ∫γsin(2nx)dx  [積分範囲:0→π/2](n:自然数) ただし、γは  γ=Arccos((-3sinxcosx)/(1+3(cosx)^2)^0.5) である。(または,γは γ=Arcsin((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5) と表すこともできる) どなたかこの難解な積分を解いてください。完全に解けなくてもアドバイスだけでも結構です。よろしくお願いいたします。

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  • yaksa
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回答No.6

とりあえず、一応、解析的にも解けるみたいです。 うちのmathematicaに入れてみたら、1000行以上の結果をずらずら表示しました。 ちなみに、フリーのmaximaでもできました。(6000行くらいの答えを出してきた。) #2さんのやり方でやってるのでしょうかね。

honisu
質問者

お礼

ご回答ありがとうございました。 手計算じゃ、無理みたいですね。

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その他の回答 (5)

  • Rossana
  • ベストアンサー率33% (131/394)
回答No.5

いずれにせよ,nの値を具体的に決めないと解析的に解く場合はきつい気がします.

honisu
質問者

お礼

的確なアドバイスありがとうございました。 私も解析的に解くのなら、Rossanaさんのやり方が一番よいと思います。 しかし、実際にこのやり方で計算をしてみたのですが、完全に解くことが出来ませんでした。

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  • Rossana
  • ベストアンサー率33% (131/394)
回答No.4

でも,問題がありました.sin(2nx)やcos(2nx)をtで表現するのは無理があるかも. I_n=∫[0→π/2]γsin(2nx)dx とおいて漸化式を作って解いた方がいいかもしれません.

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  • Rossana
  • ベストアンサー率33% (131/394)
回答No.3

tanx, sin^2x, cos^2xから成る関数の場合はtanx=tとおいた方が効率がいいかもしれません. ただ,tan(x/2)=tの方が万能です.

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  • Rossana
  • ベストアンサー率33% (131/394)
回答No.2

dγ/dx=1/√{1-((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)^2}・{d((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)/dx} =1/√{1-((1-3(cosx)^2)/(1+3(cosx)^2)^0.5)^2}・(d()/dxを具体的に計算) 面倒くさいので,すいません.ご自分でやって下さい. まず,部分積分. ∫[0→π/2]γsin(2nx)dx =[γ(-1/2n)cos(2nx)]_0^(π/2)-∫[0→π/2]{dγ/dx(-1/2n)cos(2nx)]dx でdγ/dxに先ほどのものを代入して sinxとcosxを含む関数の積分となると思う(たぶん). ということはtan(x/2)=tとおいてsinx=2t/(1+t^2), cosx=(1-t^2)/(1+t^2)を代入して計算していけばできるかも知れない. 以上,勘でものを申してすいませんが,そんな感じでやればもしかしたらできるかもしれません.ちょっとかなり面倒くさそうなので具体的に計算してないので,できるか分かりませんが. 頑張って下さい.

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回答No.1

解析的に解けなければいけないのでしょうか? 質問者さんは工学部の学生さんということなので、 (ちなみに自分も工学部の学生ですが…) 数値計算で強引に求めてしまうのではだめでしょうか? Excelでわりとすぐに計算できますよ。 dx=0.001としてちょっとやってみたところ、 n=2:(与式)=-0.2147 n=3:(与式)=0.4873 n=4:(与式)=0.0583 ってな感じになりそうです。 いかがでしょう?

honisu
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 出来れば解析的に求めたいのですが… しかし、このExcelを使う方法は盲点でした。貴重なアドバイスありがとうございます。

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