3次元上の座標P(1)P(2)P(3)P(4)からなる折れ線があります

質問

3次元上の座標P(1)P(2)P(3)P(4)からなる折れ線があります。
P(1)P(2)間の線分とP(2)P(3)間の線分がなす面上で半径Rの円と接しています。
また同様にP(2)P(3)間の線分とP(3)P(4)間の線分がなす面上で半径Rの円と内接しています。
このとき、P(3)がP(3)及びP(4)を含む無限線分上を自由に移動するとして、それぞれの接円もP(2)P(3)の変移に伴って接円として移動します。P(2)P(3)間で二つの円が同じ位置で接する(つまり円同士が接する)座標を求める方法を教えてください。
P(1)からP(4)がなすそれぞれの線分は一つの面上になく、空間的にねじれた関係になります。

回答No.1

noname#137826

接点の座標を求めて、それらが等しいとする計算をします。
以下の数式中では全て位置ベクトルを用いることにします。

P3の初期値(P3が移動する線分を定義するための点)をP3'とすると、P3の軌跡は

p3 = (1-t)p3' + tp4

と表されます。このp3及びp1, p2, p4を用いて、角θ2, θ3を添付図内の数式のように表すことができます。
このθ2, θ3を用いると、接点の位置ベクトルc2, c3を添付図内の数式のように表すことができます。
円同士が接するということは

c2 = c3

です。ここから t の値が求まり、そこから芋づる式にp3, θ2(θ3), c2(c3) が求められます。

お礼

ありがとうございます。
この後、求めるのに
tan^2 θ = 1-cos 2θ / 1+cos 2θ
を代入してってやってみたのですが、tの8次方程式になってしまい、私には解を出す事が出来ませんでした。
やり方が間違ってるのでしょうか？