３次元空間中の２つの円の交点の求め方

質問

３次元空間において、２つの円の各中心座標(x,y,z)、各法線ベクトルおよび各半径が分かっているときに、これらの円が作る交点(x,y,z)を求める方法を教えてください。できれば、交点がいくつ存在するかを示す判別式もお願いします。

回答No.2

yumisamisiidesu

問題の2円の中心は同じですか？
中心も法線も半径も一汎的には異なるものとして問題を考えます.中心A=(a,b,c)、単位法線n=(s,t,u),半径rの円周は次のような集合になります
　{P=(x,y,z)|s(x-a)+t(y-b)+u(z-c)=0,(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2}
このことから2円だと式が4つできて、未知数はx,y,zの3つの連立方程式ができます.

お礼

集合かぁ。なるほど。
早急な手ほどき、ありがとうございました。

回答No.1

pyon1956

少々まわりくどいけど。
中心と法線ベクトルがわかっていれば、これらの円が存在する平面の方程式が二つ定まりますね。この２つを連立すると2つの平面の交線の方程式が求められます。交点がもし存在するならこの直線上にあります。
そこで、
この交線の方程式と2つの円の中心を中心とし、それぞれの半径を半径とする球の方程式をそれぞれ連立して解けばこの直線と円との共有点が求められます。それで、各円についての直線との共有点がもう一つの円のそれと一致するか、またいくつ一致するかを調べればいいわけです。
もっとも片方の円とこの直線の共有点の座標がわかれば、その点ともう一方の円の中心との距離を求めて、半径と等しいかどうか調べるだけで交点があるかどうかはわかりますが。
他の方法は思いつかないのでどなたか・・・よろしく。

お礼

なるほど。
素早いご回答、ありがとうございます！
非常に助かりました。