証明

質問

どうしてもできないのでおねがいします。
1. ab>0とする。このとき、a>bと1/a<1/bは同値であるこ
　　とを示せ。
2. はさみうちの原理を用いて次の極限を求めよ。
lim(2^n+3^n+4^n)^(1/n) (2∧nは2のn乗ってことです）
n→∞
2^nは2のn乗のことです

回答No.2

springside · ベストアンサー

1.
ab>0なので、
　a>b→1/b>1/a (両辺をabで割った)
　1/a<1/b→b<a (両辺にabを掛けた）
であるから、a>bと1/a<1/bは同値

2.
4^n < 2^n+3^n+4^n < 4^n+4^n+4^nであるから、各辺を1/n乗すると、
(4^n)^(1/n) < (2^n+3^n+4^n)^(1/n) < (4^n+4^n+4^n)^(1/n)
となる。

最左辺=(4^n)^(1/n)=4

最右辺=(4^n+4^n+4^n)^(1/n)
=(3×4^n)^(1/n)
=3^(1/n)×(4^n)^(1/n)
=3^(1/n)×4 → 3^0×4=4 (n→∞)

つまり、最左辺も最右辺も4に収束するから、はさみうちの原理によって、求める極限は4

お礼

先生よりぜんぜんわかりやすかったです。ありがとうございました。

回答No.3

tomtak

#1です。

2の問題ですが、間違えました。
#2の方の回答が正解だと思います。

回答No.1

tomtak

1.
ab>0より、a>bの両辺をabで割ると、1/b>1/aとなります。
逆に、1/a<1/bの両辺にabを掛けるとb<aとなります。
よって、ab>0のときa>bと1/a<1/bは同値です。

2.
lim(2^n+3^n+4^n)^(1/n)　≦　lim(4^n+4^n+4^n)^(1/n)
　　　　　　　　　　　　=　4*lim(3)^(1/n)
　　　　　　　　　　　　=　0
また、
lim(2^n+3^n+4^n)^(1/n)　≧　lim(2^n+2^n+2^n)^(1/n)
　　　　　　　　　　　　=　2*lim(3)^(1/n)
　　　　　　　　　　　　=　0
よって、
0≦lim(2^n+3^n+4^n)^(1/n)≦0 となり、
lim(2^n+3^n+4^n)^(1/n)=0ではないでしょうか。

お礼

とてもわかりやすかったです。ありがとうございまいた。