sin^2の定積分・・・

質問

こんにちは。テストを控えて家にこもっている学生です。問題が分からなくて困っています。宜しければ、ご教授下さい。
ここでの∫-a b は積分記号の上にbが、下に-aが付く事を表すとします。分かり辛くて申し訳ありません。

∫－π π (sin^2)dx　　

自分としては、sin^2x　を　1-cos2x/2　と変形することで、1/2を関係のない定数として前に出して、分解的に積分をして行き、

=1/2[x]-π π ー　1/2[1/2sin2x]-π π
=・・・・

の様に解いていたのですが、答えがどうしても答と一致しません。因みに答えはπになります。この問題の計算の過程を上手く再現して、解答を導いていただける方、解答お待ちしております。
宜しくお願い致します。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

>∫－π π (sin^2)dx　
通常上付き、下付き文字が使えないとき
I=∫[-π→π] {sin(x)^2} dx
などと書きます。
sin(x)^2=(1/2){1-cos(2x)}
cos(2x)の周期はπですので、積分区間がπの整数倍であれば積分値はゼロになります。今の場合積分区間は[-π→π]で2πですので積分はゼロになります。
したがって
sin(x)^2は(1/2)だけが積分結果に影響します。
I=∫[-π→π] {sin(x)^2} dx
=(1/2)∫[-π→π] 1 dx -(1/2)∫[-π→π] cos(2x) dx
=(1/2)∫[-π→π] 1 dx
=(1/2){π-(-π)}
=π

なお、後半の積分を強いてやれば以下のようになります。
(1/2)∫[-π→π] cos(2x) dx=(1/4){sin(2π)-sin(-2π)}=0

お礼

御回答ありがとうございます。

＞cos(2x)の周期はπですので～
そんな決まりがあったんですか・・。高校の時に学習したかもしれないですが、全く覚えていませんでした。お恥ずかしい限りです。
こんな実力で単位を取ろうっていうのが無茶なのかもしれませんが、テストではテキストと同じ問題を出してくれるそうなので、ここはひとつ丸暗記作戦で突撃したいと思います。（汗）

御回答ありがとうございました。

回答No.1

yusk

1/2[x]-π π ー　1/2[1/2sin2x]-π π
これを計算すればΠになると思いますよ。
やり方もあってると思います。

お礼

さっそくの御回答ありがとうございます。

あ、これであってるんですか～。どうしても計算が合わなかったので、テキストの答えが間違ってるんじゃないか、なんて思ってしまいましたが、どうやら違うようで・・。もう一度計算してみます；；。

御回答ありがとうございました。