電磁気学の問題です。

質問

質量が弧で同じ、荷電量もqで同じ3つの物体が、軽くて伸びない長さ1の絶
縁性の糸で連緒され、正三角形を形成している。
糸の一本を焼き切る。各々の物体の最大速度を求めよ。

という問題が解けずに困っています。
どなたか助けてください。

回答No.5

yokkun831

>Ａ，Ｂの速度をｖとするとＣの速度は２ｖｓｉｎθなので

θを使う方が簡明になりそうですね。ただし，上のようにはならないと思います。
系全体が回転しているので，AとBの対称軸方向の速度成分はv sinθになりませんよね？

Bの速度成分(u,v)　（ただし，u>0,v>0）とすると，Cの速さは2v。
束縛条件から

tanθ=3v/u

が成立します。

回答No.4

yokkun831

式の判読のため，長さをL(=1)とします。
重心を原点にとってBの座標を(x,y)とおくと，Cの座標は(0,-2y)。

エネルギー保存によれば，

x '^2 + 3y '^2 = kq^2/m・(1/L - 1/(2x))

となります。ただし，「'」は時間微分，k=1/(4πε0)です。
束縛条件は，

x^2 + 9y^2 = L^2

時間微分して

xx ' + 9yy ' = 0

以上から，x 'およびy 'をxまたはyの関数として表すことができます。
計算はかなり煩雑で，Bが(x,y)にあるときの速さ２乗は

v^2 = kq^2/(6mL)・(2x - L)(9L^2 - 8x^2)/{x(3L^2 - 2x^2)}

となりました。y 'はx=Lで最大値をとりますが，v=√(x '^2+y '^2) はx≒0.83 L　で最大となります。計算はかなり煩雑で，v^2のxによる微分をとっても因数分解ができず，４次方程式を解くことになります。この煩雑さから考えるに，出題者は束縛条件を考慮していないのではないかという疑義が生じます。Algodooによるシミュレーション画像を参考につけました。グラフは上がCの速さ，下がAとBの速さの変化を示しています。

回答No.3

gohtraw

＃１です。直感的にＡ～Ｃが直線上に並んだときが速度最大と考えてしまいましたが、検証不足でしたね。
　ＡＣとＢＣのなす角を２θとすると、
ＡＢ間の電気的位置エネルギー＝ｑ＾２／８πεｓｉｎθ
なので系全体の電気的位置エネルギーの変化量は
ｑ＾２／４πε（１－１／２ｓｉｎθ）
です。Ａ，Ｂの速度をｖとするとＣの速度は２ｖｓｉｎθなので運動エネルギーは
ｍｖ＾２（１＋２ｓｉｎ＾２θ）
です。従ってエネルギー保存則は
ｑ＾２／４πε（１－１／２ｓｉｎθ）＝ｍｖ＾２（１＋２ｓｉｎ＾２θ）
なので、
ｖ＝√（ｑ＾２／４πε（１－１／２ｓｉｎθ）／ｍ（１＋２ｓｉｎ＾２θ））
数値解しか見ていませんがやはりθ＝π／２の時が速度最大のようです。

回答No.2

yokkun831

まだ解いていないので、間違っていたら申し訳ありません。

ただし、このまま質問を閉じられるのはひょっとしたらマズイかもしれないので、あえて申し上げます。

No.1さんの考察に話を合わせますと、

対称性により、Ｃの最大速度はＯＫだと思いますが、糸による束縛がありＡとＢの速度は本来直線ＡＢ方向の成分を持つために、ＡとＢの最大速さは糸が一直線になったときでない可能性があります。

回答No.1

gohtraw

三つの物体をＡ，Ｂ，Ｃ、その質量をｍ、電荷をｑとします。
（１）糸を焼き切る前の状態は三つの物体の距離はいずれも１です。
（２）一方、ＡとＢの間の糸を焼き切った場合、ＡとＣ、ＢとＣの距離は１で変わりません。ＡとＢの速度が最大になるのはＡＢ間の電気的な位置エネルギーが最小になるとき、つまりＡＢ間の距離が一番大きく２になるときです（言い換えればＡ，Ｂ，Ｃが一直線に並ぶ時です）。

（１）と（２）の間にはエネルギー保存則が成り立ちます。ＡＣ間、ＢＣ間の電気的な位置エネルギーには変化がないので、ＡＢ間の位置エネルギーだけ考えればいいことになります。誘電率をεとすると
（１）の状態のＡＢ間の電気的位置エネルギーは
　ｑ＾２／４πε
（２）の状態のＡＢ間の電気的位置エネルギーは
　ｑ＾２／８πε
で、この差がＡとＢとＣの運動エネルギーに変わります。
　ここで、Ａ～Ｃをひとまとめにした系を考えるとこの系には外力が働いていないので、この系の重心は動きません。Ａ、Ｂ，Ｃが直線Ｌ上に並んだとき、ＡとＢはこの直線に垂直な方向に運動し、Ｃはそれとは逆の方向に運動します。系の重心移動がないので、Ｃの速度はＡとＢの速度の和に等しくなります。また、この系はＣを通るＬの垂線に対して対称なのでＡとＢの速度は等しくなります。ＡおよびＢの速度をｖとするとＣの速度は２ｖです。これらの運動エネルギーの和は
ｍ（ｖ＾２＊２＋４ｖ＾２）／２＝３ｍｖ＾２
なので
ｑ＾２／８πε＝３ｍｖ＾２
が成り立ちます。これを解けば速度が判ります。