電磁気学の問題です。

質問

符号の異なった帯電体q1、q2が間隔をｌとして固定してある。
q2と同符号の荷電体q3を有する質量岨の粒子が、荷電体q1の側からq1とq2を結ぶ直線に沿って、固定された帯電体に飛んでくる。
粒子がq1に達するためには、粒子が充分遠方にあったとき粒子の持つべき最小の速度を求めよ。

という問題が解けずに困っています。
どなたか解法、回答をお願いします。

回答No.1

gohtraw

ｑ３はｑ１およびｑ２との間に働くクーロン力を受けながら運動します。ｑ３とｑ１の距離をｄとして、ｑ３がｑ１に近づいてクーロン力がゼロになったときのことを考えます。このとき、ｑ３がまだｑ１に向かって運動していればｑ３はｑ１に達することができます。このクーロン力は
ｑ１ｑ３／４πεｄ＾２＋ｑ２ｑ３／４πε（ｄ＋ｌ）＾２
　　＝ｑ３（ｑ１／ｄ＾２＋ｑ２／（ｄ＋ｌ）＾２）／４πε
となり、これがゼロということは
ｑ１／ｄ＾２＋ｑ２／（ｄ＋ｌ）＾２
　　＝（ｑ１（ｄ＋ｌ）＾２＋ｑ２ｄ＾２）／ｄ＾２（ｄ＋ｌ）＾２
　　＝０
つまり　ｑ１（ｄ＋ｌ）＾２＋ｑ２ｄ＾２＝０　ということです。この式はｄの二次方程式なので、これをｄについて解けばｄをｌ、ｑ１、ｑ２で表わすことが出来ます。・・・（１）

　※ｑ１～ｑ３は符号付きの値であることに注意して下さい。
　※ｑ１とｑ３の距離がｄより大きい時ｑ３は斥力を受け、ｄより小さいと引力を受けます。なぜそうなるかは考えてみて下さい。

　さらにこのとき、ｑ３の電気的な位置エネルギーは
ｑ１ｑ３／４πεｄ＋ｑ２ｑ３／４πε（ｄ＋ｌ）
　　＝ｑ３（ｑ１／ｄ＋ｑ２／（ｄ＋ｌ））／４πε
と表わされます。上記より、ｑ３はまだｑ１に向かって動いていないといけないので、ｑ３のエネルギーは運動エネルギーＥ（Ｅ＞０）を持っています。エネルギー保存則より、ｑ３が充分遠くにある時の速度をｖとすると
ｍｖ＾２／２＝ｑ３（ｑ１／ｄ＋ｑ２／（ｄ＋ｌ））／４πε＋Ｅ
　　　　　　＞ｑ３（ｑ１／ｄ＋ｑ２／（ｄ＋ｌ））／４πε
従って
ｖ＞√（ｑ３（ｑ１／ｄ＋ｑ２／（ｄ＋ｌ））／２πｍε）
となり、ｄに上記の（１）の結果を代入すればｖの満たすべき条件が判ります。