重積分のもんだいです。

質問

1.∬Dxydxdy D:x軸とy=2x^2-4x+1
2.∬D(x+y)dxdy D:x軸,y=x,y=-x+2
をそれぞれ解説をおねがいします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

まず、問題文の領域Dの定義の記述が不完全なので意味が通るように訂正して下さい。

自分でできることはやって補足に書いて下さい。
その上で分からない所を質問するようにして下さい。

解き方
１．
勝手に　D={(x,y)|2x^2-4x+1≦y≦0}であるとすれば
I=∬[D] xydxdy
=∫[(2-√2)/2,(2+√2)/2] {∫[2x^2-4x+1,0]xydy}dx
=∫[(2-√2)/2,(2+√2)/2] {-x(2x^2-4x+1)^2/2}dx
この続きはやってみて下さい。

２．
勝手に　D={(x,y)|0≦y≦x,y≦2-x}であるとすれば
I=∬[D](x+y)dxdy
=∫[0,1]{∫[y,2-y](x+y)dx}dy
=∫[0,1]{((2-y)^2)/2+y(2-y)-(y^2)/2-y^2}dy
=∫[0,1]{2(1-y^2)}dy
この続きはやってみて下さい。

補足

ありがとうございます
範囲は
1.D:x軸とy=2x^2-4x+1で囲まれる部分
2.D:x軸,y=x,y=-x+2で囲まれる部分
です

回答No.3

info22_

#2です。

A#2に勝手に想像して書いた積分領域でOKでしたね。

（１）D={(x,y)|2x^2-4x+1≦y≦0}

（２）D={(x,y)|0≦y≦x,y≦2-x}

積分はA#2に書いた計算式をそのまま積分すれば良いですね。

参考までに
(1)の場合の積分領域Dと3次元空間的に積分を行っている
立体領域の図を添付しておきます。
積分領域Dでは被積分関数 z=xy≦0になるので積分値が負になることは
言うまでも無いですね。→ 積分値=-(4/15)√2

(2)は積分すると　→ 積分値=4/3
となります。

お礼

わかりやすくありがとうございました！！

回答No.1

Ae610

1. ∬Dxydxdy D:x軸とy=2x^2-4x+1
与式=∫[1-√2/2,1+√2/2]dx∫[2x^2-4x+1,0]xydy

2..∬D(x+y)dxdy D:x軸,y=x,y=-x+2
与式=∫[0,1]dx∫[0,x](x+y)dy+∫[1,2]dx∫[0,2-x](x+y)dy

・・・を計算する！

お礼

ありがとうございました